仿射变换高考能用吗（高观点下的初等数学）

原创 林根数学 林根数学 昨天

仿射变换的一个特点，就是“平直性”，因为我们可以理解仿射变换是一个线性变换加上一个平移，线性这个性质就保证了直线变换后还是直线，所以仿射变换，变换后的图形，是直线边的还是直线边。

介绍下面两种特殊的线性变换：

错切变换：错切变换是一种特殊的“平直性”变换，简单来说就是矩形变为平行四边形，长方体变为平行六面体，如下图：

反之平行六面体通过错切变换也可以变成长方体。

压缩变换：平面压缩变换是由x’=nx , y’=my,给出, 其中n 、m 为正数。若取n = 1, 则称变换x’=x 、y’= my为向着ox轴的压缩变换(下面谈到的变换都是指这种压缩变换)。

被压缩的图形叫做原像, 压缩变换成的图形叫做像。

显然，错切变换和压缩变换有下面几个基本不变性质:

1 .两条平行(重合) 或相交的直线在压缩变换下的像也是平行(重合) 或相交的直线;

2. 在压缩变换下，同一直线上或平行线段的比值仍保持不变.

至于在空间坐标系中,空间三点的平面方程的求法,用行列式比较方便:

求过三点：M₁(x₁， y₁，z₁)；M₂(x₂，y₂，z₂)；M₃(x₃，y₃，z₃)的平面的方法：

设过M₁的平面方程为A(x-x₁)+B(y-y₁)+C(z-z₁)=0.................①

M₂，M₃都在此平面上，因此它们的坐标都满足方程①；将它们的坐标依次代入得：

A(x₂-x₁)+B(y₂-y₁)+C(z₂-z₁)=0.............②

A(x₃-x₁)+B(y₃-y₁)+C(z₃-z₁)=0..............③

①②③是关于A、B、C的线性方程组，此方程组有非零解的充要条件是关于A、B、C的系数行列式∆=0；即：

下面由此来看，2020年人大附中的一道期中考试压轴题：

人大附中2020-2021 学年度第一学期高二年级数学期中练习20201104 第24 题

已知四棱锥T - ABCD的底面为平行四边形,平面α与直线 AD,TA,TC分别交于点P,Q,R ,且

点M 在直线TB 上, N 为CD的中点,且直线MN∥平面α.

(1)设

试用基底

表示向量TD;

(2)证明:四面体TABC 中至少存在一个顶点,从其出发的三条棱能够组成一个三角形;

(3)证明:对所有满足条件的平面α,点M 都落在某一条长为(√5/2)TB 的线段上.

证明:前两问极容易,属于可以“秒杀”的情形,这里从略.

(3) 把四棱锥T – ABCD嵌入如图1所示的平行六面体中,沿Ox轴及Oy轴作两次错切变换得到长方体,再作一次压缩变换得到一正方体(棱长为1),上述变换中原题设的定比分点的比不变,所求结论中的比值√5/2亦不变.

如图2所示,在正方体ABCD-A’B’C’T中解决问题即可.

可设P(0,1-x,0), Q(0, x,1-x), R (1-x , 0,x),过此三点的平面α方程为

此即

设

则见M(t,t,1-t),又N(1/2,0,0),则由MN//α知点M,N到平面α的距离相等,由点到平面的距离公式并结合①得

由于M,N在α的同侧,则②的两端去掉绝对值,得

(4t+1)x2-(4t+3)x+2t+1=0,③

由于x∈R,则对一元二次方程③由其根的判别式,即得

则结论成立.证毕.

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