2017年高考数学评论（刘蒋巍）

上海11年高考数学命题趋势研究（2010~2020）

文/刘蒋巍

一．近10年上海高考数学试题的整体发展趋势

近十年试题对“图形与几何”（32.66%）内容的考查最多，对“函数与分析”（28.3 5%）和“方程与代数”（26.74%）内容的考查也较为重视，而试题对“数据整理与概率统计”（ 6.70%)和“数与运算”（3.83%)的考查较为忽视。试题内容考查全面，知识与能力并重;取消文理分科后仍凸显其导向功能，稳定与创新兼顾;彰显课程理念，应用与文化并举。

二. 各知识单元下的具体分析

(一)“方程与代数”知识内容分析

《课程标准》中“方程与代数”内容下的二级知识点较为广泛，有:集合与命题、不等式、矩阵与行列式初步、算法初步、数列与数学归纳法，下面分别对这五个知识点的考查分值及其分布在“方程与代数”这一知识单元下的百分比进行统计描述，如表：

“方程与代数”内容分析

表明:近年来，上海高考试题在“方程与代数”知识单元下具体知识点的考查中，最注重对“数列与数学归纳法”（47.33%）的考查，几乎占据此知识单元的一半，分析试题知道尤其是其中等差数列与等比数列考得最多，且均匀分布在填空题、选择题和解答题中；其次是“集合与命题” （24.20%)和“不等式”（22.03%)两个知识点，两者合计也几乎占据“方程与代数”考查内容的一半，其中命题的四种形式、充分条件与必要条件内容占比较大，主要是和其他知识点的综合。最后是“矩阵与行列初步”（5.32%)和“算法初步”（1.13)的考查，考查不多。为直观反映5个知识点历年考查的分值比例分布情况，将其以折线图形式整理如下图表示:

“方程与代数”内容变化折线图

从上图可以清晰反映出，近年来试题在“方程与代数”具体知识点的考查中，对“数列与数学归纳法”内容的考查最多，其中又以2019年试题的考查分值比例最大，占总分的63. 64% ；2018年(61.02%)次之。此外，2015年(54.65% )，2011年(51.25%)和2017年(49.53%)均超过十年试题对此知识点考查的平均值 47.33%。与之相比，考查比重最少的是2014年对“数列与数学归纳法”的考查，却也占“方程与代数”内容的33.51%。显然，在这一知识单元下，试题最为注重对“数列与数学归纳法”的考查。

居中的是试题对“集合与命题”和“不等式”内容的考查。首先，在对“集合与命题”的历年考查上，2012年试题更加注重，占“方程与代数”知识单元总分的55.88%。 2016年试题的考查次之，占43.65% 。 2018年(5.65%)和2019年(9.09%）试题在“集合与命题”上的考查最少，均没有达到总考查分值的10%，由此可以计算得到10年高考试题在“集合与命题”上考查比例的极差是50.23%，变化差异十分明显。其次，在对“不等式”的历年考查上，2014年试题考查了49. 74%的内容，而其余年份试题的考查均在35%以下，甚至2012年和2015年都没有考查任何有关不等式的题目，因此10年高考试题在“不等式”上考查比例的极差是49.74%，试题变化也较为明显、考查情况不稳定。试题对“矩阵与行列式初步”的考查不多但趋于稳定，分值在0-5分上下起伏，占“方程与代数”内容的10%以下。试题对“算法初步”的考查最少也最为稳定，除2010年试题考查了4分有关算法初步的内容之外，2011-2019年9年的试题均没有再考查“算法初步”的内容。

（二）“函数与分析”知识内容分析

《课程标准》中“函数与分析”内容下的二级知识点有:函数及其基本性质、指数函数与对数函数、三角比、三角函数，下面分别对这四个知识点的考查分值及其在“函数与分析”内容下的分值权重进行统计，如下表所示:

“函数与分析”内容分析

由表格中最后一行数据得知：近年来试题在“函数与分析”知识单元下具体知识点的考查中，“函数及其基本性质”（42.21)的考查比重最高，接近此知识单元的一半;其次是“三角函数”知识点的考查，占据总分的26.33%;紧接着是检测学生对“指数函数与对数函数”知识的掌握情况，考查了20. 74%;最后是对“三角比”（18.22%)的考查。试题在“函数与分析”具体知识内容的考查上没有特别忽略的，都较为注重。这一单元的试题考查常常与其他知识点综合出现，注重学生方程与函数思想的建立。为直观反映4个知识点历年考查的分值分布情况，将其以折线图形式整理如下图所示:

“函数与分析”内容变化折线图

基于“函数与分析”之“函数及其基本性质”内容上的考查情况，发现2019年试题的考查分值最多，占总分的65%。此外，2013年(58.42% ), 2018年(57.65% )，2012年(53.60%)和2017年(48.94%)这4年试题均超过十年试题对此知识点考查的平均值(42.21%)。2015年试题只考查了15.71%的内容，计算得到极差是49.29%。2017年试题最为注重对“三角函数”的考查，设置了此知识单元总分的74.89%的内容分值。除此之外，2015年试题是唯一考查超过平均占比的，为52.86%，而2018年和2019年均没有考查三角函数。由此可以计算得到10年高考试题在“三角函数”上考查占比的极差就是74.89%，变化幅度非常大，属于考查极不稳定的一个知识点。

由历年试题在“三角比”上考查的分值比例折线图可以明显看到，近十年试题对此考查变化比较平缓，其中以2019年试题考查了35%的内容、2011年试题考查了5.41%的内容为最大值和最小值，得到10年高考试题在“三角比”知识点上考查比例的极差是29.59%，试题变化较为不明显、考查情况比较稳定。

对“指数函数与对数”的历年考查上，2011年试题最多，占当年“函数与分析”内容考查总分的48.65% 0 2010年试题在此内容上的考查比重次之，占据38.10%的内容，而2016年(29.78%)和2017年(21.28%)试题也是超过平均占比的。2019年试题考查最少，没有考查。

(三)“图形与几何”知识内容分析

《课程标准》中“图形与几何”内容下的二级知识点见下表所示，并分别对这五个知识点的考查分值及其在“图形与几何”这一知识单元下的百分比进行统计，并分析其考查趋势。

“图形与几何”内容分析

由表可以看出，“图形与几何”下二级知识点的历年平均分值分布比较均衡。其中考得最多的是“曲线与方程”，占整体考查的28. 50%，这部分出题主要是解答题第一题，注重学生基础知识和能力的考查，难度不大。考查最少的是“平面向量的坐标表示”，占此知识单元考查总分的12.52%，多以小题(填空题、选择题)与其他知识综合出现。由此可计算得知两者极差是15.98%，说明近10年上海高考数学试题在“图形与几何”的具体知识点上的考查比较全面。除此之外，试题对“图形与几何”具体知识点的重视程度由高到低分别是:“平面直线的方程”（21.26% ),“简单几何体的研究”C 20.58%)和“空间图形”018.73%。接下来，为直观反映5个知识点历年考查的分值比例分布情况，将其以折线图形式整理如下图所示。

“图形与几何”内容变化折线图

基于“图形与几何”之“曲线与方程”内容上的考查情况，发现2016年试题的考查分值最多，占总分的47.09%，除此之外就是2010年(39.58% ),2018年(38.22%）和2015年(37.63%)这3年试题超过了十年试题对此知识点考查的平均值(28.50% ) 。

2011年试题只考查了7.55%的内容，计算得到极差是39.54% 。2014年和2010年试题最为注重对“平面直线的方程”的考查，分别设置了此知识单元总分38.46%和32.29%的内容分值。除此之外，2016年(24.85%)和2019年(24.53试题也较为重视考查学生对此知识点的掌握，而对此考查最少的2012年试题也考查了9.30%的内容，得到极差为29.16%，试题变化不明显、考查相对稳定。

由历年试题在“简单几何体的研究”上考查的分值比例折线图可以明显看出，近十年试题对此考查变化最为平缓，其中以2015年试题考查了30.11%的内容、2010年试题考查了8.33%的内容为最大值和最小值，得到两者之间的极差是21.78%，由此可说明试题在“简单几何体的研究”上的考查变化不明显、考查情况最为稳定的结论。

2011年试题对“空间图形”的考查最多，占当年“图形与几何”知识单元考查总分的33.96% 0 2017年试题在此内容上的考查比重次之，占据33.02%的内容，而其余年份试题的考查均在12%-24%之间，唯有2014年试题考查的分值比重远远低于其余年份，仅占当年“空间图形”考查总分的4.05% 。对“平面向量的坐标表示”的历年考查上，2012年试题最为注重，设置了此级知识单元总分26.84%的内容分值，其余年份也较为重视考查学生对此知识点的掌握，围绕着平均分值占比10%的幅度上下变化，由此看出试题在“平面向量坐标表示”上考查相对稳定。

（四）“数据整理与概率统计”知识内容分析

《课程标准》中“数据整理与概率统计”内容下的二级知识点为排列、组合、二项式定理和概率与统计初步这两个，分别对其考查的分值及其在这一知识单元下的百分比进行统计，并分析其考查趋势。

“数据整理与概率统计”内容分析

通过上表发现:2010-2019年试题在“数据整理与概率统计”知识单元下，对“概率与统计初步”（65.72%)的考查是“排列、组合、二项式定理”（34.28%）的2倍，前者主要考查等可能事件的概率，后者主要在填空题中以排列、组合或二项式定理中任一知识点出现，题目都比较基础。为直观反映这两个知识点历年考查分值比例的分布情况，将其以折线图形式整理如下图所示。

“数据整理与概率统计”内容变化折线图

基于“数据整理与概率统计”之“概率与统计初步”内容上的考查情况，发现2011年和2014年试题达到了100%的考查比例，除2015年(33.33%)和2018（43.48%)外，其余年份试题的考查均超过了50%的比例。

而历年对“排列、组合、二项式定理”的考查，以2015年和2018年试题最注重，分别设置了此级知识单元总分66.67%和56.52%的内容分值。而对此考查最少的是2011年和2014年的试题，并没有此内容的涉及。

（五）“数与运算”知识内容分析

“数与运算”这一知识单元在《课程标准》中的知识内容只有复数初步，而高考试题对此考查也较为统一，多以填空题或选择题形式单独或综合考查复数的四则运算。

三．上海高考试题形式内容的变化趋势分析

通过分析十余年上海高考试题，得到试题在形式和内容上的变化与趋势如下。

由于上海“新高考”方案的实施，高考数学试题自2017年取消文理分科，试题在总分(150分)和题型(填空、选择、解答题)不变的情况下，改变各题型的题量和分值。首先，在题量上，选择题由原来的14道改为12道，选择题、解答题题量与原来持平，总题量由23道减至21道。其次，在分值设置上，选择题采取难度差异得分，由原来每题5分改为前6题4分一道、后6题5分一道，总分由56分变成54分;选择题没有改变;而解答题在第一道“图形与几何”题目中增加了2分，其余保持不变，总分相应地也由74变为76分。

从考查内容整体趋势来看，试题对“图形与几何”的考查比重最大，从11年试题对此内容的平均考查分值而言，它是最高的，有32.66%，约占总分的三分之一。试题也较为注重对“函数与分析”和“方程与代数”的考查，平均分别占总分的28.35%和26. 74%。试题对这3个知识单元的考查总计达到整体的90%左右，说明这三块内容是高中教学的重中之重。试题对“数据整理与概率统计”、“数与运算”的考查只有总分的 6.7%和3.83%，总计仅占整体考查的10%左右，但它们仍是高中教学不可忽视的内容，是渗透考查学生数据分析和运算素养的重要内容。

2017年以来，上海高考取消文理分科，数学分卷与不分卷的考查呈现以下特点.

1.知识与能力并重，考查全面

对十余年上海高考数学试题的考查形式和内容分析，试题注重对知识和能力的全面考查，注重对数学思想和思维方法的考查，知识点与课程标准的要求一致，正面体现了上海高考数学试题知识体系发展越来越完善。取消文理分科后，题目可能通过控制计算量、增加思维量、突出直观化、生活化、综合化等，降低三类题型(填空题、选择题和解答题)的起点难度，有利于考生稳定心态、正常发挥。试题在注重基础的同时，结合学科内知识点之间的适度交融，将观察、实验、联想、猜测、归纳等思维活动和能力要求融入试题中，突出能力立意的命题原则。

2.稳定与创新兼顾，凸显导向功能

试题在形式、内容上的安排具有较高的稳定性。过去数学文理分科势必造成试题注重文理差异，而2017年开始文理考生同做一张试卷，试题保持适度创新，规避题型套路，做到“新、变”但不怪，“新、变”而不难。具体体现在:适当改变一些试题模式，适当降低压轴题的绝对难度;适度增加一些动态性、探索性、开放性的问题。有效避免教师与学生把注意力完全放在考试科目和具体内容上，造成“考什么便教什么学什么”和“不考什么便不教什么不学什么”的弊端，有利于落实顺应时代发展的全面推进素质教育的举措，为学生的终身发展奠定基础。

3.应用与文化并举，彰显课程理念

2017年后试题中更加强调数学知识的应用，富有浓厚的现实生活气息，我们认为这是对数学核心素养的最好回应。通过增加知识背景内容与实际应用相结合的方式设置问题，反映数学来源于生活，并应用于生活的本质。试题延续了以数学史为背景、渗透数学文化价值的思路。通过一些数学问题，融入数学史的创新型试题，以考查学生的数学素养为目的，让学生潜移默化地接受数学文化的熏陶，在领略古今数学思想的同时也能得到启发，从而迸发出思维的火花，实现数学知识、思想和方法的迁移。试题联系课本知识，远离复习资料，避免了题型套路和题海战术的干扰，在充分展示试题的数学味和数学美的同时，又为深入研究试题的“源”与“本”提供了广阔的空间。

作者简介

刘蒋巍，CNKI大成编客推荐主编，《课程教育研究》特约编委，学思堂教育研究院院长。

擅长变式教学，著有《命题转换的9种方法在教学中的运用》、《中学学科学法指导》、《教学之道28篇》、《中考数学解题策略》、《江苏高考数学复习指南》等书籍20余本。擅长命题研究，在《高等数学研究》、《中学数学教学参考》等杂志发表论文30余篇。拥有《学生成绩改善问题及干预措施》、《LSMF教学法、EBASV教学法与渐进式提问》等版权课程。