学校合唱队有40人（四年级以上暑假奥数练习）

培优学堂主要发布知识点的归纳总结，按照专题进行分类，讲解典型题目，总结解题方法。

容斥原理

一、方法思维

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当

两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理：对 n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质 a 分类与性质

b分类（如图），那么具有性质 a或性质 b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。

二、精讲精练

【例题 1】：一个班有 48人，班主任在班会上问："谁做完语文作业？请举

手！"有 37人举手。又问："谁做完数学作业？请举手！"有 42人举手。最后问：

"谁语文、数学作业都没有做完？"没有人举手。求这个班语文、数学作业都完

成的人数。

【思路导航】： 完成语文作业的有 37 人，完成数学作业的有 42 人，一共

有 37＋42=79人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计

做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这

样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。

练习 1：

1，五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优

秀成绩。其中语文成绩优秀的有 65人，数学优秀的有 87人。语文、数学都优秀

的有多少人？

2，四年级一班有 54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读

物的有 13人，订《小学生优秀作文》的有 45人，每人至少订一种读物，订《数

学大世界》的有多少人？

3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24人，会弹电子琴的有 17人，其中两种乐器都会演奏的有 8人。这个文艺组一共有多少人？

【例题 2】：某班有 36个同学在一项测试中，答对第一题的有 25人，答对

第二题的有 23人，两题都答对的有 15人。问多少个同学两题都答得不对？

【思路导航】：已知答对第一题的有 25 人，两题都答对的有 15 人，可以求

出只答对第一题的有 25－15=10 人。又已知答对第二题的有 23 人，用只答对第

一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33

人。所以，两题都答得不对的有 36－33=3人。

练习 2：

1，五（1）班有 40 个学生，其中 25人参加数学小组，23人参加科技小组，

有 19人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？

2，一个班有 55 名学生，订阅《小学生数学报》的有 32 人，订阅《中国少

年报》的有 29人，两种报纸都订阅的有 25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？

3，某校选出 50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果 3人两项比赛都获

奖了，有 27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有 14人，问数学比赛

获奖的有多少人？

【例题 3】：某班有 56人，参加语文竞赛的有 28人，参加数学竞赛的有 27

人，如果两科都没有参加的有 25 人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多

少人？

【思路导航】：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛

的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24 人。

练习 3：

1，一个旅行社有 36人，其中会英语的有 24 人，会法语的有 18人，两样都

不会的有 4人。两样都会的有多少人？

2，一个俱乐部有 103人，其中会下中国象棋的有 69人，会下国际象棋的有

52人，这两种棋都不会下的有 12人。问这两种棋都会下的有多少人？

3，三年级一班参加合唱队的有 40 人，参加舞蹈队的有 20 人，既参加合唱

队又参加舞蹈队的有 14人。这两队都没有参加的有 10人。请算一算，这个班共

有多少人？

【例题 4】：在 1 到 100的自然数中，既不是 5的倍数也不是 6的倍数的数

有多少个？

【思路导航】：从 1 到 100 的自然数中，减去 5 或 6 的倍数的个数。从 1 到

100的自然数中，5的倍数有 100÷5=20个，6的倍数有 16个（100÷6=16„„4），

其中既是 5的倍数又是 6的倍数（即 5和 6的公倍数）的数有 3个（100÷30=3„„

10）。因此，是 6或 5 的倍数的个数是 16＋20－3=33个，既不是 5的倍数又不是

6的倍数的数的个数是：100－33=67个。

练习 4：

1，在 1 到 200 的全部自然数中，既不是 5 的倍数又不是 8 的倍数的数有多

少个？

2，在 1 到 130 的全部自然数中，既不是 6 的倍数又不是 5 的倍数的数有多

少个？

3，五（1）班做广播操，全班排成 4行，每行的人数相等。小华排的位置是：

从前面数第 5个，从后面数第 8个。这个班共有多少个学生？

【例题 5】：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学

生的书法作品，其中有 24幅

不是五年级的，有 22 幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 10 幅，

其他年级参展的书法作品共有多少幅？

【思路导航】：由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的

总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24＋22=46幅，这是一

个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个

年级共参展的 10 幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再

除以 2，即可求出其他年级参展作品的总数。（24＋22－10）÷2=18幅。

练习 5：

1，科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有

110 件不是一年级的，有 100 件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有 32

件。其他年级参展的作品共有多少件？

2，六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其

中有 25 幅画不是三年级的，有 19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画

共有 8幅。其他年级参展的画共有多少幅？

3，实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，

其中有 28幅不是五年级的，有 24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品

共有 20 幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少 4 幅。

一、二年级参展的书法作品共有多少幅？