2017高考1卷数学（2017全国卷）

2017全国卷16题之速解

除给出速解外，本文将探讨2017年高考题与林根老师前面在《林根数学》中多次所提到的四面体的超维三角形的关系。

16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△ DBC，△ ECA，△ FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△ DBC，△ ECA，△ FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.

【答案】

【考点】简单几何体的体积

【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.

以上是某网给出的解答，有两个问题：

一是标记处明显笔误，应改为

，二是用高次函数的求导自然可以万无一失，但已然浪费了大量时间，想想为什么要学均值定理等不等式的内容，还不是为了速算吗？由此上述解法可以简化一下：

下面给出速解：

还有一种解法，就是根据林根老师发现的四面体的外接球半径公式：

（见《林根数学》之“数学，你没发现的美之六—超维三角形”）

结合这个公式，并注意到：

及均值定理可以速得。

《林根数学》资料：

①《高考数学全观》（上、下）（高考第一轮）教案及学案

②《高考数学重观》（高考第二轮）教案及学案

③《清北数学高观》教案及学案

④《中考数学微观》教案及学案

⑤人教版必修1—5全套教案及学案

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