三垂线定理高考能用吗（2020高考数学突破140分）

方法1(几何法)

同异面直线所成的角，但问题的关键是做出二面角的平面角，而做平面角的常见类型有：

(1)当所求二面角的两个面是具有公共底边的两个等腰三角形且公共底边在二面角的棱上时，可取公共底边的中点，利用等腰三角形的性质作出二面角的平面角，即如图，在二面角A—DC—B中，若AD=AC，且BD=BC，则取DC的中点E，连接AE、BE，由等腰三角形的性质，知AE⊥DC，BE⊥DC，∴∠AEB就是二面角的A—DC—B平面角．

(2)当图中出现了过二面角的一个面内一点且与另一个面垂直的直线时，可过垂线的垂足做棱的垂线，再将所得垂足与面内已知点相连结，由三垂线定理可得二面角的平面角，即如图，在二面角P—AB—C中，若PC⊥面ABC，则过C做CD⊥AB于D，连结PD，由三垂线定理，知PD⊥AB，∴∠PDC就是二面角P—AB—C的平面角．

(3)当图中出现了过二面角的一个面内一点且与另一个面垂直的平面时，可过该点在垂面内做两垂面的交线的垂线，则此垂线必垂直于二面角的另一个面，从而将问题转化为类型(2)，如图:

在二面角P—AB—C中，若面PDC⊥面ABCD，则可过P做PQ⊥DC于Q，再过Q做QM⊥AB于M，连结PM，由三垂线定理，知PM⊥AB，∴∠PMQ就是二面角P—AB—C的平面角．

方法2(面积射影法)

在图中，若PC⊥ABC，则三角形ABC就是三角形PAB在面ABC上的射影三角形，设二面角P—AB—C的大小为θ，则cosθ=S△ABC/S△PAB。

方法3(利用异面直线上两点间距离公式求二面角)

如图，在二面角M—AB—N中，若CD属于M，EF属于N，且CD⊥AB于C，EF⊥AB于E设二面角M—AB—N的大小为θ，EF=m，CD=n，CE=d，DF=l，则l2=m2+n2+d2-2mncosθ，从 而 有

方法4(向量法)

在图中，二面角M—AB—N的大小就是向量CD与EF的夹角，即θ=<向量CD，向量EF>．

方法5(法向量法)

设m、n分别是平面α与β的法向量，α与β所成的二面角为φ，若=θ，则①当m、n的方向如图所示时，φ=π－θ；

②当m、n的方向如图所示时，φ=θ．

方法6(加减法求二面角的平面角)

若两个二面角有公共的棱，则它们可以相“加、减”形成第三个二面角，当其中两个二面角的平面角比较容易求时，用它们相加、减即可求出另外一个二面角的平面角．

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