做梦梦见考试（高考数学中出现斜率等差）

问题引入：

分析：第一问，根据知条件列出两个距离的等量关系整理可得出轨迹方程；

第二问，可设M（4,m），分直线AB的k存在与k不存在两种情况处理：

当k不存在时，求出A，B两点坐标，易知k₁+k₂=k₃

当k存在时，设直线AB：y=k（x-1），联立直线与曲线方程。对于k₁+k2，强行用韦达定理表示出来，结合k₃的表达式，发现k1+k2=k3成立，

综上可知：k1+k2=k3，此题证明结束。

点评：此题计算量偏大，并且斜率之间的关系不易发觉。需要扎实的计算功底，并且在计算之前要有大胆的设想！通过本文的总结，应该对这类题型做到未卜先知！

反思：本题中的三个斜率满足k1+k2=k3，也就是说k1，k2，k3成等差数列。这么整齐的结果，是出题人有意为之？还是椭圆本来具有的性质？

很多同学已经猜到，老师既然这么问，答案一定是后者。

没有错，这道题目中的直线l=4，其实是椭圆的右准线，x=a^2/c，而F点是它的右焦点。我们有这样的结论：

过椭圆的右焦点F做直线AB，交椭圆于A，B两点，则在直线x=a^2/c上任意一点P，对弦AB端点以及F的连线的斜率成等差数列。

PA，PF，PB三条直线的斜率成等差数列。

同样的结论可以推广到椭圆的左焦点与左准线的情况；也可以推广到抛物线和双曲线的情况！

练习题：

这里只说此题的第一问，此题是我们结论中的情况，过焦点和准线的情况。由于直线PA,直线PF,直线PB斜率成等差数列。同时，过的定点是椭圆的右焦点，定直线是x=4，所以4=a^2/c，题中的B点坐标暴露了a=2的事实，可以轻松求出c=1，椭圆方程即可求出！当然，作为一道大题来讲，必要的式子还要列出来的，本文只提供一个快解。详细过程可以“搜题”软件。

讲到这里，很多同学会感觉到很神奇，如此随意的几个点，竟然可以做出如此有美感的结论！

我们并未结束。

还有更精彩的结论，如果要求定点是焦点，定直线是准线，那就太瞧不起圆锥曲线了！

椭圆：

过x轴上一定点Q（t，0）的直线交椭圆于A，B两点，则在直线x=c^2/t上任意一点P，对弦AB端点以及F的连线的斜率成等差数列。

PA，PF，PB三条直线的斜率成等差数列。

双曲线：

过x轴上一定点Q（t，0）的直线交双曲线于A，B两点，则在直线x=c^2/t上任意一点P，对弦AB端点以及F的连线的斜率成等差数列。

PA，PF，PB三条直线的斜率成等差数列。

抛物线：

过x轴上一定点Q（t，0）的直线交抛物线于A，B两点，则在直线x=-t上任意一点P，对弦AB端点以及F的连线的斜率成等差数列。

例题：

分析：第一问，虽然也是固定的结论，由于今天重点介绍斜率等差的问题，今天就不详细展开第一问了，参考答案即可。今后会在图文中以专题的形式呈现。

第二问，很多同学已经知道答案了，它们会成等差数列。当然毕竟这是一道大题，我们给出这道题的答案，希望同学们自己动手再做一遍，好处有两个：一、对今天所讲结论进行证明；二、这道题全篇没有一个确定的点或线，都是字母，如果这道题的过程能独立书写，那么其他相似问题一定会得满分！

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