辽宁师范大学《数学分析》2022年硕士研究生入学考试自命题考试大纲

815《数学分析》考试大纲（学术型）

注意：本大纲为参考性考试大纲，是考生需要掌握的基本内容。

第一章  实数集与函数

一．考核知识点

1.实数集的性质

2．确界定义和确界原理

3．函数的概念及表示法，基本初等函数的性质及其图形，初等函数

二．考核要求

(一) 实数集的性质

1．熟练掌握：

（1）实数及其性质；

（2）绝对值与不等式。

2．深刻理解：

（1）实数有序性，大小关系的传递性，稠密性，阿基米德性，实数集对四则运算的封闭性以及实数集与数轴上的点的一一对应关系；

（2）绝对值的定义及性质。

3．简单应用：

（1）会比较实数的大小，能在数轴上表示不等式的解；

（2）会利用绝对值的性质证明简单的不等式。

4．综合应用：会利用实数的性质和绝对值的性质证明有关的不等式，会解简单的不等式。

（二）确界定义和确界原理

1．熟练掌握：

（1）区间与邻域；

（2）有界集、无界集与确界原理。

2．深刻理解：

（1）区间与邻域的定义及表示法；

（2）确界的定义及确界原理。

3．简单应用：会用区间表示不等式的解，会证明数集的的有界性，会求数集的上、下确界。

4．综合应用：会用确界的定义证明某个实数是某数集的上确界（或下确界），

证明某数集无界。

（三）函数的概念

1．熟练掌握：

（1）函数的定义；

（2）函数的表示法；

（3）函数的四则运算；

（4）复合函数；

（5）反函数；

（6）初等函数。

2．深刻理解：

（1）函数概念的两大要素；

（2）掌握整数部分函数，小数部分函数，符号函数，狄利克雷和黎曼函数；

（3）函数能够进行四则运算的条件；

（4）复合函数中内函数的值域与外函数的定义域的关系；

（5）反函数存在的条件。

3．简单应用：会求函数的定义域、值域，比较几个函数的大小，会求分段函数和复合函数的表达式，能熟练地描绘六类基本初等函数的图象。

4．综合应用：能作简单的复合函数的图象，会求函数的反函数，证明有关的不等式，会建立简单应用问题的函数关系。

（四）具有某些特性的函数

1．熟练掌握：

（1）有界函数；

（2）单调函数；

（3）奇函数和偶函数；

（4）周期函数。

2．深刻理解：

（1）有界函数和无界函数的定义；

（2）单调函数的定义及其图象的性质；

（3）奇函数和偶函数的定义及其图象的性质；

（4）周期函数的定义及其图象的性质。

3．简单应用：

（1）会求函数的上下界，会判断函数无界；

（2）会判断函数的单调性；

（3）会判断周期函数及求周期；

（4）会判断函数的奇偶性。

4．综合应用：能利用函数的各种特性解决简单的应用问题。

第二章   数列极限

一．考核知识点

1．数列极限的定义

2．收敛数列的性质

3．数列极限存在的条件

2．深刻理解：两个重要极限的证明。

3．简单应用：利用两个重要极限求极限的方法。

4．综合应用：综合用利用归结原则和两个重要极限求极限的方法。

(五) 无穷小量与无穷大量

1．熟练掌握：无穷小量，无穷大量的概念。

2．深刻理解：无穷小量和无穷大量的性质和关系，无穷小量阶的比较。

3．简单应用：无穷小量阶的比较方法，用无穷小量和无穷大量求极限。

4．综合应用：会用等价无穷小求极限，会求曲线的渐近线。

第四章  函数的连续性

一．考核知识点

1．连续性概念

2．连续函数的性质

3．初等函数的连续性

二．考核要求

(一) 连续性概念

1．熟练掌握：函数在一点的连续性，区间上的连续函数，间断点及其分类。

2．深刻理解：函数在一点左、右连续的概念，函数在一点的连续的充要条件。

3．简单应用：用定义证明函数在一点连续。

4．综合应用：利用函数在一点的连续的充要条件证明函数在一点连续。

(二) 连续函数的性质

1．熟练掌握：连续函数的局部性质，闭区间上连续函数的基本性质，反函数的连续性，复合函数的连续性。

2．深刻理解：一致连续性。

3．简单应用：用连续函数求极限。

4．综合应用：会证明函数的一致连续性和非一致连续性，能利用闭区间上连续函数的基本性质论证某些问题。

(三) 初等函数的连续性

1．熟练掌握：基本初等函数的连续性。

2．深刻理解：初等函数在其定义的区间内连续。

3．简单应用：证明基本初等函数在定义域内连续，判断初等函数间断点的类型。

4．综合应用：证明一般初等函数在定义域内连续，判断分段函数间断点的类型。

第五章  导数与微分

一．考核知识点

1．导数的概念

2．求导法则

3．参变量函数的导数

4．高阶导数

5．微分

二．考核要求

(一) 导数的概念

1．熟练掌握：导数的定义，导函数。

2．深刻理解：函数在一点的变化率，左、右导数，导数的几何意义，导函数的介值性，函数可导与连续的关系。

3．简单应用：会求函数的平均变化率，会求曲线切线和法线方程。

4．综合应用：会求分段函数的导数，能运用导数概念证明曲线的某些几何性质。

（二）求导法则

1．熟练掌握：导数的四则运算，反函数的导数，复合导数的导数，基本求导法则与公式。

2．深刻理解：导数的四则运算、反函数的导数、复合导数的导数、基本求导法则与公式的证明。

3．简单应用：会用各种求导法则计算初等函数的导数。

4．综合应用：能综合运用各种求导法则计算函数的导数。

(三)参变量函数的导数

1．熟练掌握：参变量函数的导数的定义。

2．深刻理解：参变量函数的导数的几何意义。

3．简单应用：会求参变量函数所确定函数的导数。

4．综合应用：能利用参变量函数的导数证明曲线的某些几何性质。

(四)高阶导数

1．熟练掌握：高阶导数的定义。

2．深刻理解：高阶导函数的概念。

3．简单应用：会求简单函数的高阶导数。

4．综合应用：能利用莱布尼茨公式计算高阶导数，计算参变量函数的高阶导数。

(五)微分

1．熟练掌握：微分概念。

2．深刻理解：微分的几何意义，导数与微分的关系，一阶微分形式的不变性。

3．简单应用：会计算函数的微分。

4．综合应用：会计算函数的高阶微分及微分在近似计算中的应用。

第六章 微分中值定理及其应用

一．考核知识点

1．拉格朗日定理和函数单调性

2．柯西中值定理和不定式极限

3．泰勒公式

4．函数的极值与最大值、最小值

5．函数的凸性与拐点

6. 函数图象的讨论

二．考核要求

(一) 拉格朗日定理和函数单调性

1．熟练掌握：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，函数单调性。

2．深刻理解：罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的条件与结论、证明方法，它们的几何意义。

3．简单应用：判断函数是否满足罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会求简单函数的中值点。

4．综合应用：用拉格朗日中值定理证明函数的单调性，利用拉格朗日中值定理和函数的单调性，证明某些恒等式和不等式。

(二)柯西中值定理和不定式极限

1．熟练掌握：柯西中值定理, 不定式的极限。

2．深刻理解：柯西中值定理的证明方法，求不定式极限的方法。

3．简单应用：会求7种不定式的极限。

4．综合应用：能用柯西中值定理证明某些带中值的等式。

(三)泰勒公式

1．熟练掌握：泰勒定理，泰勒公式，麦克劳林公式。

2．深刻理解：泰勒定理的实质，泰勒公式与拉格朗日中值定理的关系。

3．简单应用：利用泰勒定理展开六种函数的麦克劳林公式，余项估计。

4．综合应用：利用泰勒公式和等价无穷小变换计算极限，泰勒公式在近似计算上的应用。

(四)函数的极值与最大〔小〕值

1．熟练掌握：函数的极值与最大〔小〕值，取极值的必要条件，驻点。

2．深刻理解：判断极值的两个充分条件。

3．简单应用：会求函数极值与最大〔小〕值。

4．综合应用：证明某些不等式，解决求最大〔小〕值的应用问题。

(五)函数的凸性与拐点，函数图象的讨论

1．熟练掌握：函数图象的凸性与拐点，函数图象的性态。

2．深刻理解：凸函数，函数为凸函数的充要条件，曲线的渐近线。

3．简单应用：会判断函数图象的凸性与拐点，会求曲线的渐近线，能描绘简单函数的图象。

4．综合应用：能利用函数的凸性证明不等式。

第七章  实数的完备性

一．考核知识点

1. 关于实数集完备性的基本定理

2．上极限和下极限

二．考核要求

(一)关于实数集完备性的基本定理

1．熟练掌握：实数集完备性的意义，实数集完备性的几个基本定理。

2．深刻理解：确界原理、柯西收敛准则、区间套定理、聚点定理、致密性定理、有限覆盖定理的条件和结论，它们的证明方法，理解有理数集不满足完备性定理的原因。

3．简单应用：会求数集的聚点、确界。能应用区间套定理解决简单的证明问题。

4．综合应用：能完成实数集完备性的几个基本定理的等价性证明。

(二)闭区间上连续函数性质的证明

1．熟练掌握：闭区间上连续函数的有界性，有最大、最小值性，介值性和一致连续性。

2．深刻理解：闭区间上连续函数性质的证明思路和方法。

第八章  不定积分

一．考核知识点

1．不定积分概念与基本积分公式

2．换元积分法与分部积分法

3．有理函数和可化为有理函数的不定积分

二．考核要求

(一)不定积分概念与基本积分公式

1．熟练掌握：原函数、不定积分及二者的区别，基本积分表。

2．深刻理解：原函数与导数的关系，不定积分的基本性质，不定积分的几何意义。

3．简单应用：会求简单初等函数的不定积分。

4．综合应用：根据不定积分的几何意义求曲线方程。

(二)换元积分法与分部积分法

1．熟练掌握：换元积分法，分部积分法。

2．深刻理解：换元积分法与复合函数求导法则的关系，分部积分法与乘积求导法的关系。

3．简单应用：会用换元积分法与分部积分法计算简单函数的不定积分。

4．综合应用：能综合运用换元积分法与分部积分法计算某些函数的不定积分，证明某些递推公式。

(三)有理函数和可化为有理函数的不定积分

1．熟练掌握：有理函数、三角函数有理式和某些无理函数的不定积分。

2．深刻理解：以上各种不定积分的计算步骤。

3．应用：会计算有理函数、三角函数有理式和某些无理函数的不定积分。