2020景德镇陶瓷大学科技艺术学院专升本高等数学考试大纲

一、适用专业

本大纲适用于理工科类、经济类各专业。

二、考试目的

本大纲规定了我院专升本考试中《高等数学》的总体要求，目的是要求考生系统掌握大纲所规定的基本概念、性质和定理等知识;具备一定的运算力、抽象思维能力、逻辑推理能力;能运用相应的数学知识和数学思想方法去分析、解决问题。

三、考试要求和内容

本大纲中将基本要求分为由低到高的三个等级，即对概念和理论性的知识，由低到高，分别用“知道”、“了解”、“理解”三级区分：对运算、方法和技巧方面的知识，由低到高分别用“会或能”、“掌握”、“熟练掌握”三级区分。

参考教材 ：《微积分》(第二版)，龚德恩、范培华主编，高等教育出版社。

本课程的考试要求与内容具体如下：

第一章 函数、极限和连续

(一)考试要求

1.理解函数概念，会求函数的定义域。掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性。

2.了解复合函数与反函数的定义，熟练掌握复合函数的复合过程。掌握基本初等函数的简单性质及图像，了解初等函数的概念。

3.了解各类极限概念。掌握极限的四则运算法则。理解无穷小量、无穷大量的概念。会进行无穷小量阶的比较。会运用等价无穷小量代换求极限。熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

4.理解函数连续与间断的定义，知道间断点的分类，会判别间断点的类型。

5.了解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理、介值定理、零点存在定理，会应用零点存在定理证明某些具体方程有实根。

(二)考试内容

1.函数的概念和性质，复合函数与反函数，基本初等函数，初等函数。

2.数列极限与函数极限。

3.函数的连续性、间断点，间断点的分类。

4.闭区间上连续函数的性质。

第二章 一元函数微分学

(一)考试要求

1.理解导数的定义及几何意义;会求曲线上一点处的切线方程与法线方程;会根据定义求函数的导数;知道可导与连续的关系。

2.熟练掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则、隐函数求导法及对数求导法。

3.熟练掌握初等函数的一阶和二阶导数的求法，会求某些简单函数的高阶导数。

4.理解微分的定义，可微与可导的关系，以及一阶微分形式的不变性，掌握微分运算与求导运算的关系，会求函数的微分。

5.了解罗尔定理、拉格朗日定理的内容。会用罗尔定理证明方程根的存在性，会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。

6.熟练掌握用洛必达法则求不定式的极限的方法。

7.知道极值的定义、极值存在的必要条件及两个充分条件。会求函数的单调区间和极值;会求闭区间上连续函数的最大值与最小值;会求一些简单应用问题的最值。

8.了解函数的凹凸性及拐点的定义，会求函数的凹凸区间及拐点。会求曲线的斜渐近线、水平渐近线和垂直渐近线。

(二)考试内容

1.函数的导数，导数的几何意义，基本求导公式与求导法则，高阶导数，微分。

2.中值定理、洛必达法则。

3.极值，函数的单调性、凹凸性及拐点，渐近线。

第三章 一元函数积分学

(一)考试要求

1.了解不定积分和定积分的概念和性质。

2.熟练掌握不定积分的基本公式。

3.熟练掌握不定积分的第一换元积分法和分部积分法。

4.掌握不定积分的第二换元法(限于三角代换法、简单根式代换法)。

5.会求简单有理函数的不定积分。

6.理解定积分的概念与几何意义，掌握定积分的基本性质。

7.知道变上限定积分定义的函数并会求它的导数。

8.熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式，并会用换元积分法和分部积分法计算定积分。

9.掌握定积分的微元法，会求直角坐标系下的平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转的旋转体的体积。

(二)考试内容

1.不定积分的概念与性质，不定积分与微分之间的关系。

2.不定积分的换元法与分部积分法，简单有理函数的不定积分。

3.定积分的概念与性质。

4.变上限定积分定义的函数的导数。

5.定积分的换元法和分部积分法。

6.平面图形的面积及旋转体的体积。

第四章 向量代数与空间解析几何

(一)考试要求

1.理解向量、单位向量、零向量、向量的坐标等概念。

2.掌握向量线性运算、数量积的定义及其性质。

3.知道常用二次曲面的方程及其图形。

(二)考试内容

1.向量的模与方向的求法，向量的坐标表示等。

2.向量的运算、数量积的定义及其性质。

第五章 多元函数微积分学

(一)考试要求

1.理解二元函数的概念，会求一些简单二元函数的定义域。熟练掌握显函数的一阶、二阶偏导数的求法。熟练掌握二元函数全微分的求法。

2.理解二重积分的概念及几何意义，掌握二重积分的性质。熟练掌握用直角坐标计算二重积分的方法，会用极坐标计算二重积分。

(二)考试内容

1.二元函数的概念及其定义域的求法。偏导数的定义及计算。全微分的定义及计算。

2.二重积分的概念，二重积分的计算。

第六章 无穷级数

(一)考试要求

1.理解级数收敛、发散的概念，掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基

本性质。

2.掌握等比级数(几何级数)、调和级数及 P 级数的敛散性。掌握正项级数的比较、比值判别法。掌握交错级数敛散性判定方法，会使用莱布尼茨准则。掌握级数绝对收敛与条件收敛的判定。

3.理解幂级数的收敛半径与收敛区间的定义，熟练掌握求标准幂级数的收敛半径和收敛域的方法。

(二)考试内容

1.无穷级数的概念和性质。

2.常数项级数的审敛法。

3.幂级数及其收敛性。

第七章 微分方程

(一)考试要求

1.理解微分方程的定义及阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

2.熟练掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3.了解二阶常系数齐次线性微分方程解的性质及通解的结构，熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

(二)考试内容

1.微分方程的基本概念。

2.可分离变量的微分方程。齐次微分方程。一阶线性微分方程。

3.二阶常系数齐次线性微分方程。