线性代数

第一章 行列式

三点内容。

一、计算。

1、数字型行列式计算用展开公式。注意用技巧多型镇创造0:把某一行的k 倍加到第i 行；把每一行都加到第一行；逐行相加；

爪型要变形上三角或下三角，考时不会是明明白白的爪型，故先要变成明明白白的爪型；

有时若恒等变形会把行列式本来很好的结构破坏掉，故要积累经验；

"三条线"型若是4、5阶用逐行相加或每行都加到第一行；阶数高的用数学归纳法或递卜升粗推法。(数学归纳法要先打草稿才能确定用第一还是第二数学归纳法——若一个n 阶命题和1个递阶命题相关，则用第一数学归纳法；若一个n 阶命题和2个递阶命题相关，则用第二数学归纳法。)

2、抽象型行列式计算

行列式性质恒等变形；矩阵公式、法则恒等变形；E 恒等变形。特征值、相似。

二、应用

特征多项式求特征值结果往往带参数，记得求解时不要乘得混乱；克莱默法则更多用来做证明题，只在系数行列式特殊(如范德蒙)时才用来解方程组。

三、证行列式为0——反方秩特

第二章 矩阵

一、运算:n 维列向量；分块矩阵；矩阵的n 次方(三种做法:看秩是否为1；拆成单位矩阵和一个矩阵的和再用二项展开式；用相似)

二、伴随。伴随的两种求法；核心公式推导矩阵的逆、伴随、伴随的逆、逆的伴随(注意用置换)。

矩阵的秩和伴随的秩的关系及证明(思路很重要)；考秩的俩条件，一个讲大一个讲小；用行列式的元来解释矩阵的秩；

三、可逆。逆矩阵的4种求法:定义、行变换、用伴随、对角矩阵的逆。

逆和转置的运算法则比较。

四、初等矩阵。左乘右乘；初等矩阵逆矩阵的三个公式。

看到一道题不要直接看答案，要先自己思考。把真题做好。

第三章 向量

以下三大内容的计算题、证明题、选择题。

一、相关、无关

1、向量里面两个核心考点:相关无关的计算题将坐标竖过来，看齐次方程组有无非0解；线性表出的计算题研究非齐次方程组有无解。

2、证向量组无关:定义法，恒等变形——乘和重组；用秩。

若是用乘，先看能不能乘出0来；若一下子看不出乘谁得0，分两步走，研究俩式子的加加减减。

二、线性表出。

1、计算题有两种:

⑴一个向量能否用一个向量组线性表出

两个思路:

①以克拉默法则为背景，若用克拉默法则来处理，令行列式等于0，把等于0的各种情况探讨在一起，总结归纳。

②构造非齐次线性方程组——抓0思想(注意:未知量的系数为0，若常数项不为0，则此非齐次线性方程组无解；若常数项系数为0，则有无穷多解)。

⑵一个向量组能否由另一个向量组线性表出

①构造非齐次线性方程组(几个系数一致的非齐次线性方程组可合并系数矩阵)，抓0；

②推理，用秩思考。(观察:向量组1中所有向量都能由2中一个向量表出，则1能由2表出；若2中有一个向量不能由1线性表出，则2不能由1表出)

2、证明题和选择题思路:

⑴证一个向量能由一个向量组线性表示:

①构造非齐次线性方程组，用秩；(用秩做题要有的一个构思——构造数的不等式，夹逼思想)

②定理36——一组向量线性无关，加入一个相关，则加入的那个向量可用其余向量表出，且表示法唯一。

③证出某个K≠0，让K当分母。

⑵证不能线性表示:反证法。

三、秩。

1、向量组的秩考点

①求极大无关组:如经初等行变换得到秩为3的矩阵，就找3阶行列式不为0的向量；

②将其他向量用极大无关组表出。

用不同语言解释向量组列(行)满秩，则列(行)向量线性无关:用极大线性无关组解释；用齐次线性方程组只有0解解释。

线性代数里好多知识点可以用不同角度解释、理解——做题开拓思路，同一件事情，从不同角度解释。

极大线性无关组与整个向量组等价，应用到求齐次线性方程组的解，要用有限个解描述无穷个解，则求解解向量的极大无关组——基础解系。

2、矩阵的秩

矩阵的秩用行列式得不得0来定义，矩阵的行秩和列秩是向笑如量组的秩，指向量组的极大无关组有几个向量。两者是完全不同的概念，但都是数值，数值大小一样。

矩阵秩的几个公式及证明。

求n阶矩阵的秩有3个方法:①经初等行变换矩阵的秩不变；

②用秩的概念——行列式；

③用特征值。

第四章 方程组

这章三点内容，考计算，动手做题发现很多问题。

1、齐次线性方程组

把系数矩阵化成行最简(把自由变量的系数写成相反数)还是阶梯型(代入求解)要灵活处理。选择计算量最小、不易出错的。

基础解系如何找自由变量——从系数矩阵找单位矩阵(或行列式不为0的矩阵)，挡掉的就是自由变量。

2、非齐次线性方程组

求非齐次特解时，自由变量全为0，其余变量按从上往下顺序抄常数项。

3、公共解、同解

公共解两种考题:①题目说两个方程组有公共解，则联立方程组；

②一个给方程组，一个给基础解系，则解方程组，用两个基础解系表示公共解，移项，构造齐次方程组，解出系数，代入任意一组基础解系即可。

同解要注意验证必要条件——秩相等。

第五章 特征值

考试重点，三点内容。

1、求特征值、特征向量。

①定义法。(推理分析)

②特征多项式，特征方程。(通过基础解系求特征向量)

这里的加减消元要学会投机取巧，不要一点一点消，先把最复杂的一个方程全写成0；特征向量尽可能求成整数。

③相似(两矩阵相似，特征值一样，特征向量有关联，背过直接用)

做题技巧:

已知一个矩阵的特征值、特征向量，直接写与其相关矩阵(多项式、幂、逆、伴随、相似)的特征值、特征向量；

把一个矩阵写成一个简单矩阵(秩为1的矩阵特征值有一个为矩阵的迹，另外的全是0)与单位矩阵的和；

齐次方程组的解也是特征值0对应的特征向量；

2、相似

①相似的4个必要条件(行列式、秩、特征多项式和特征值、迹相等)；

②在两个矩阵的相似上注意3条线索:若一个矩阵的行列式和秩不好求，则求与其相似矩阵的行列式、秩；通过相似于对角矩阵求矩阵的幂；证明两矩阵相似，选一个对角矩阵作为中介。

③一个矩阵相似于对角阵的定义——矩阵有n个无关的特征向量。

判断方法:两个充分条件(有n个不同特征值；对称矩阵)；1个充要条件(n重特征值有n个无关的特征向量)。

④求可逆矩阵使矩阵A对角化。题目中不直接告诉A矩阵，此时要予处理。3种题型。

给相似:用相似的必要条件(迹、行列式相等、特征值相同)构造方程组；

给特征向量:用特征值、特征向量定义构造方程组；

特征值有重根:研究秩。

⑤以前是给一个矩阵，求其特征值、特征向量，现在正好反过来，要求A，准备好两套东西——n个特征值、n个特征向量。两个思路:用矩阵方程，用相似。

3、实对称矩阵

①4个特点

②用正交矩阵相似对角化。前3步与用可逆矩阵相似对角化一致，第4步是将求得的特征向量正交化(施密特)、单位化(别带分母，就写整数部分)。

第六章 二次型

1、标准型

二次型化标准型的问题，在正交变换下就演变成求A 的特征值、特征向量。

2、正定

判断矩阵是否正定①先检验A 对称②证明A 正定(主对角线上的元素都大于0是正定的必要条件；顺序主子式全大于0；特征值全大于0)

证明正定①定义法②特征值法③A 与单位矩阵合同(正惯性指数为n )

3、合同

相似一定合同，合同一定等价。反之不成立。

举例矩阵特征值相同但不相似→要举反例，特征值必须是重根。

等价⇔同型矩阵秩相等

证明相似(n 阶)→相似于同一个对角矩阵

证明不相似→用相似的4个充分条件；一个相似于对角矩阵，一个不能相似对角化。

实对称矩阵相似⇔特征值相同

合同(n 阶实对称)⇔正负惯性指数相等。

六章全结束，祝顺利。

行列式的计算方法如下：

1、化成三角形行列式法。这种化成三角形行列式法在用的时候要求我们将某一个行或者是列全部的化成1，这样的话就能方便我们利用行列之间的关系将其转化为一个三角形行列式，从而可以求出来这个三角形行列式的值，因为我们求的行列式的值之间的各个元素是相等的，各个元素之外也是相等的。

2、降阶法。降阶法也是一种利用行列式的特清毕点来简化行列式的方法之一，我们在使用的时候埋逗，利用行列式的性质将一个行或者一个列转化为一个非零的元素的时候，弯正卖然后可以按照相关的展开行或者列，每当你展开一次，这就说明行列式降低了一阶，直到无法展开之后就是最简单的行列式降阶法了，不过这一点只是适用于一些阶层比较低的行列式。

3、拆成行列式之和法。其实意思就是将一个比较复杂的行列式拆分成为两个比较简单的行列式就可以了，一定在拆分之前看一下是不是满足拆分条件。

4、范德蒙行列式法。范德蒙行列式的用法主要是将一些行列式的特点找到变形的一些地方，将我们需要求的一个行列式化成一个已知的或者是简单的形式，而这一种解题方法我们就叫做范德蒙行列式，这也是一种最为常见最为常用到的解题方法。

5、数学归纳法。数学归纳法也是比较简答，通过观察行列式之间的关系，找到同类型的行列式，就可以使用数学归纳法了。

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