数学分析凸函数

注意，实轴上的单点集也是闭区间，{a}=[a,a]，以此作为定义域好像还谈不上可微，因为可微至少要求在一个局部有定义。

如果是非退化的区间诸如[a,b]或(a,b)，那么结论是对的。

首先用定义证明凸函数在区间内部的每一点上核碧都有右导数（利用单调有界性），并且右导数是递增的。然后利用单调函数最多仅有可列个不连续点得到右导数相应的连续性质。

同理对左导数也有相关结论。

接下来把左右导数不连续的点放猛慧到一起记成T，那么T最多可列，在(a,b)T上就可以得到左导数和右导数都分别连续，最后用凸性枝氏答验证此时两个单侧导数相等，即可微性。

如何建立单位开圆盘与平面一一对应

假设A叉乘B是凳败有限区域， 则存在正粗敬正数M,使对任意x∈A，y∈B，都有 x^2+y^2

从而 x^2

所以 假设不成立 ，元结论正确。

一道高数的问题

楼上的还不行,那只是开圆盘到R[0,2π)的映射还要复合上一个[0,2π)到R的映射,这个映射写起来比较麻枯唯蠢烦,但显然是存在的,因为熟知任何一没陪个非退化区间的基数与R的基数山虚相同

fn几乎一致收敛于f,g<∞,ae,则fngn几乎一致收敛于fg

我来解释一下电灯剑客的意思好了：

假设函数喊誉f满足条件。考虑一个在定义域中的闭区间，例如[0,1]。则f在[0,1]上不是常数（因为像中有有理数也有无理数），必有最大值和最小值，分别记为M和m。则m

这个算分析里的经典结果了，数学百科全书里一般会单独列成词条世裤的。PlanetMath上给出了两种证明，一种就是这个（>

数学分析/实分析问题：已知f在区间I上处处取极大值，是否能推出f在某一区间上为常数？

要点是需要一个无界的函数

比如Riemann函数的伪倒数：

x是无理数时f(x)=0

x是有理数p/q时f(p/q)=q,其中p,q互质,q>0

g(x)可以肆键随意一点,比如g(x)=x^2

序列取成老雹坦f_n(x)=f(x)+1/侍桐n,g_n(x)=g(x)+1/n,

那么f_n(x)g_n(x)=f(x)g(x)+(f(x)+g(x))/n+1/n^2

由于f(x)+g(x)在任何非退化区间上都无界,由定义即可否定一致收敛性

二次型中什么叫非退化线性变换

可以证明，f(x)=[x] 在任何闭区间上处处取极大值。

这里，[x] 表示不超过x的最大整数，如[23]=2，[-23]=-3，[2]=2，[-2]=-2。尘腊

所以，f(x) 未派者滑必嫌搏是常数函数。（它可能在局部为常数）。

设正定二次型

f=x'ax,

c为一个可逆矩阵

y=cx为非退化的线性变换

对任闷碰逗一非零蚂卖向量y,

必有

y=cx≠0

所以

y'ay

=

(cx)'a(cx)

>

0

所以

y'ay

也是正定吵搏的

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