矩阵可对角化的条件？

假设矩阵为A，则充要瞎基条件为：

1）A有n个线性无关的特征向量

2)A的极磨指谨小多项式没有重根

充分非必要条件：

1)A没有重特征值

2)AA^H=A^HA

必要非充分条件：

f(A)可对角逗州化,其中f是收敛半径大于A的谱半径的任何解析函数

矩阵可对角化的充要条件是？

n阶方阵可进行对角化的充分必要条件是：

1n阶方阵存在n个线性无关的特征向量

推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵

2如果阶n方阵存在重复的特征值，每个特征值大升陆的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重

复次数

现在从矩阵对角化的过程中，来说说这个条件是怎么来的。

在矩阵的特征问题中，特征向量有一个很好的性质，即Aa=λa。

假设一种特殊的情形，A有n个不同的特征值λi,即Aai=λiai。令矩阵P=[a1

a2

an]

这样以来AP=A[a1

a2

an]=[Aa1

Aa2

Aan]=[λ1a1 λ2a2

λnan]=PB，其中B是对角阵。

B＝

λ1

0

0

0

λ2

0

0

0

0

λn

由于不同特征值对应的特征向量是线性无关的，那么P是可逆矩阵，将上面等式换一种描述就是

A＝PBP-1

，这也就是A相似与对角阵B定义了。

在这个过程中，滚顷A要能对角化有两点很重要：

P是怎么构成的？P由n个线性无关的向量组成，并且向量来自A的特征向量空间。

P要满足可逆。什么情况下P可逆？

矩阵可对角化的条件，其实就是在问什么情况下P可逆？

如果A由n个不同的特征值，1个特征值－对应1个特征向量，那么笑消就很容易找到n个线性无关的特征向量，让他们组成P；

但是如果A有某个λ是个重根呢？比如λ＝3，是个3重根。我们

知道对应的特征方程(3I－A)x＝0不一定有3个线性无关的解。如果λ＝3找不到3个线性无关的解，那么A就不能对角化了，这是因为能让A对角化的P矩阵不存在。

矩阵可对角化的充分必要条件是什么？

n阶方阵可进行对角化的充分必要条件是：

1n阶方阵存在n个线性无关的特征向量

推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值,那么矩阵必然存在相似矩阵

2如果阶n方阵存在重复的特征值,每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重

复次数

现在从矩阵对角化的过程中,来说说这个条件是怎么来的

在矩阵的特征问题中,特征向量有一个很好的侍差性质,即aa=λa

假设一种特殊的情形,a有n个不同的特征值λi,即aai=λiai令矩阵p=[a1

a2

an]

这样以来ap=a[a1

a2

an]=[aa1

aa2

aan]=[λ1a1

λ2a2

λnan]=pb,其中b是对角阵

b＝

λ1

0

0

0

λ2

0

0

0

0

λn

由于不同特征值对应的特征向量是线性无关的,那么p是可逆矩阵,将上面等式换一种描述就是

a＝pbp-1

,这也就是a相似与对角阵b定义了

在这个过程中,a要能对角化有两点很重要：

p是怎么构成的p由n个线性无关的向量组成,并且向量来自a的特征向量空间

p要满足可逆什么情况下p可逆

矩阵可对角化的条件,其实就是在问什么情况下喊谈雀p可逆

如果a由n个不同的特征值,1个特征值－对应1个特征向量,那么就很郑早容易找到n个线性无关的特征向量,让他们组成p；

但是如果a有某个λ是个重根呢比如λ＝3,是个3重根我们

知道对应的特征方程(3i－a)x＝0不一定有3个线性无关的解如果λ＝3找不到3个线性无关的解,那么a就不能对角化了,这是因为能让a对角化的p矩阵不存在

矩阵可以对角化吗？为什么？

矩阵可对角化的充分斗弯陆必要条件是：

1、n阶方阵存在n个线性无关的特征向量。

推论：如果这个n阶空顷方阵有n个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵。

2、如果阶n方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重。

实对称矩阵的主要性质如下：

1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4、λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向闹念量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

对角化是广义的，只是把矩阵化为对角形的矩阵而已，对对角元的取值不作要求（不要求袜塌其全不为零）。从这个意义上讲对称矩阵一定能相似对角化这是没错的。

具体地怎么实现相似对角化呢？实际上相似对角化就是找一个正交阵T

使得T'AT=T^(-1)AT=diag{λ1,,λ1;;λr,,λr}（每个λi有其几何重数个）

做法如下：

找出A的全部值并求全布特征值对应的特征向量αi1,,αisi（si为λi的几何重数）

对每组αi1,,αisi分别进行施密特正交化，而后将施密特正交化后的这r组向量按次序按告源圆列排成矩阵，记为T，T即为所求。

对角化这个概念是针对矩阵而言的，并且矩阵的对角化源自于线性变换的化简，所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系。

设一线性变换a，在基m下的矩阵为A，在基n下的矩阵为B，m到n的过渡矩阵为X，

那么可以证明：裂物B=X-1AX

那么定义：A，B是2个矩阵。如果存在可逆矩阵X，满足B=X-1AX ，那么说A与B是相似的(是一种等价关系)。

如果存在可逆矩阵X使A与一个对角矩阵B相似，那么说A可对角化。

相应的，如果线性变换a在基m下的矩阵为A，并且A相似于对角矩阵B，那么令X为过渡矩阵即可求出基n，并且在n下线性变换a的矩阵为对角矩阵，从而达到了化简。

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