行测重要题型分析之错位重排问题

一、什么是错位重排?

题干中的元素具有一一对应的关系，然后我们要打破这种关系，这种类型就叫错位重排。例如：

有四位厨师每人做了一道菜，现在要求每位厨师品尝一道菜并给予评价，要求是不能品尝自己的那道菜，问一共有多少种不一样的选择方式?

这道题中原来的厨师跟自己做的菜是具有一一对应关系的，现在我们不允许品尝自己那一道，也就打破了这种对应关系，所以这就是错位重排的题型。

二、怎么解决?

我们先从简单的开始入手，比如现在只有1位厨师，要求不能尝自己那道菜的选择方式有D1种，其实我们可以知道此时是没有符合要求的方案的，所以D1=0;同样的道理现在我们来看如果有2位厨师呢，假设要求不能尝自己那道菜的选择方式有D2种，那么此时各自吃对方那道即可，所以D2=1;同理，如果有3位厨师A、B、C，三人做的菜依次标记为1、2、3，我们可先让第一位厨师A去选择，可以选择2也可以选择3有2种选择方式，但是当A选完之后，剩下的B、C两人去选的方案是确定的，如图：

由此，可知D3=2。

那是不是所有的错位重排问题我们都要去画图呢?例如有n个人的情况：

第一步我们可让A去选择n道菜中，不是自己做的那一道所以有n-1种选法，然后第二个人再选就分为两种情况：(以下分析以A选2为例进行讨论)

①B选择了A做的那道

在这样的情况下，还剩下(n-2)个人和这(n-2)个人做的对应的菜，同理我们需要打破这(n-2)组的一一对应的关系，也就是(n-2)项的错位重排，此时的方法数为Dn-2。

②B没有选择A做的那道

如果B不能对应1，那在A选完之后，我们还剩(n-1)个人和(n-1)道菜，B不能选1号菜，此时也可以类比于(n-1)项的错位重排(相当于把1看做是B做的菜，B不能选1)，依然还是需要满足需要打破原有的一一对应关系，所以就变成(n-1)的错位重排，此时的方法数为Dn-1。

所以第一步第一个人A选择的方法有(n-1)种，第二步考虑剩余的人满足错位重排的情况有所以根据分类分步的计算原理可得，n个元素要求错位重排时，

接下来我们来看看题目，练习一下

例题

有四位厨师每人做了一道菜，现在要求每位厨师品尝一道菜并给予评价，要求是不能品尝自己的那道菜，问一共有多少种不一样的选择方式?

答案9。解析：这是4位的错位重排，

所以有9种不一样的方式。

这就是今天跟大家分享的错位重排问题：如果元素个数比较少时(1、2、3、4、5)，满足错位重排的方法数可以直接使用数字结论，依次是0、1、2、9、44种;如果元素个数比较多时，可以采用递推公式进行计算，若有n个元素，满足错位重排的方法数有大家只要学会判断题型之后，再利用推导公式就能解出题目啦!