行测数量关系：三者容斥问题公式初探

公式学习

关于三者容斥问题，就是研究三个集合之间交叉关系的问题，我们可以通过一张图片来理解一下：将集合A、B、C不同的区域标上序号，则A=①+④+⑤+⑦，B=②+④+⑥+⑦，C=③+⑤+⑥+⑦，A∩B=④+⑦，B∩C=⑥+⑦，A∩C=⑤+⑦，I为全部元素，M为不属于集合A、B、C中的元素。

观察图片可知，I就是全部的元素数，如果求I的元素数，直接用A+B+C，则不同集合相交的部分，被重复计数，因此需要减掉，A∩B在A和B中各加一次，B∩C在B和C中各加一次，A∩C在A和C中各加一次，需要减去;A∩B∩C在A+B+C中被加了三次，而在减去A∩B、B∩C、A∩C又被各减了一次，因此需要再加回来一次;M还未计算，需要加上。

故三者容斥的基本公式为：I=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C+M

若我们将④⑤⑥看成一个整体给出，这些区域的元素都只被计算两次，需要减去1次，而⑦被计算了3次，需要减去两次，则公式可变形为：

I=A+B+C-只属于两个集合的元素-2×属于三个集合的元素+M。

实战演练

学习完关于三者容斥问题的公式，下面我们通过两道例题来了解一下这两个公式如何运用。

例1

某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人。问三门课程均未选的有多少人?

A.1 B.2 C.3 D.4

答案B。解析：观察题干条件，可以看出，题目中分别给出了选择甲、乙、丙课程，兼选甲乙、甲丙、乙丙课程，以及同时选择三门课程的人数，所求为三门课程均未选择，条件恰好对应我们上面学到的关于三者容斥问题的基本公式，那么可以将上述例题中的条件，分别与公式中的字母一一对应，可以得到如下等式：50=40+36+30-28-26-24+20+M，可以解得M=2，因此三门课程都没有选择的人数为2人，答案选择B。

例2

某班参加学科竞赛人数40人，其中参加数学竞赛的有22人，参加物理竞赛的有27人，参加化学竞赛的有25人，只参加两科竞赛的有24人，参加三科竞赛的有多少人?

A.2 B.3 C.5 D.7

答案C。解析：首先确定是三者容斥问题，题目中给出只参加两科竞赛人数，可使用变形公式，假设参加三课竞赛的人数为x，题干中的40人是参加学科竞赛的人数，所以未参加竞赛人数是0，因此M为0，将数据代入公式可得：40=22+27+25-24-2x，解得x=5，即参加三科竞赛的人数为5人。

以上两个公式就是解决三者容斥问题所涉及到的基本公式，二者的原理是相同的，即去掉计数中重复计算的部分，加上未计算的部分，以做到不重不漏，在遇到关于容斥问题的时候，大家一定要看清楚题干给出了哪些数据，从而选择合适的公式解题。