充分必要条件的判断技巧

对于充要条件的判断，许多同学感觉困难，左边推出右边，左边就是充分条件，右边是必要条件。下面结合典型例题说明充分必要条件判断的常用方法，供大家参考。

一、借助于“推出方向”理解充分条件与必要条件。

若pq,则下列说法等价:p是q的充分条件,q是p的必要条件。若pq,则称p与q互为充要条件,或p的充要条件是q,或q的充要条件是p。

例1、若A、B都是C的充要条件,D是A的必要条件,B是D的必要条件,则D是C的()

A充分不必要条件B必要不充分条件

C充要条件D既不充分也不必要条件

解:可用“推出方向”解。

由已知:AC,BC,AD,DB,可以推出D与C的关系:由DB,BC,得DC;由CA,AD,可得:CD。

∴CD,即D是C的充要条件。

二、借助子集的概念理解充分条件与必要条件。

若将命题p、q看成集合,当pq时,p是q的充分条件,q是p的必要条件。这里可以用“小范围推出大范围”帮助记忆。

例2、(1)若p:x>1,q:x≥5,则p是q的条件。

(2)若p:(x-1)(x-2)=0,q:x=2,则q是p的条件。

解:从集合角度考虑:(1)中有qp;

(2)中有pq。根据“小范围推出大范围”知:(1)的p是q的必要但不充分条件;

(2)中的q是p的充分但不必要条件。

三、借助原命题与其逆否命题为等价命题理解充分条件与必要条件。

例3、若p:x≠1,若y≠2,q:x+y≠3,则p是q的条件。

解:考虑其逆否命题:q:x+y=3,p:x=1且y=2,显然有:pq。

∴qp。即p是q的必要但不充分条件。

总之,A能推出B，说明A是B的充分条件，同时B是A的必要条件;B能推出A，说明B是A的充分条件，同时A是B的必要条件;A能推出B，同时B也能推出A，说明A是B的充分必要条件(简称充要条件)同时，B也是A的充要条件。只要同学们能够熟练运用以上办法进行充要关系的判断,必定能收到良好的效果。

充分条件和必要条件的区别是：

一、如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。

二、如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件。数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B的必要条件。

如果A是B的充分条件。那么属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B的真子集；若属于B的也属于A，则A与B相等。

充分条件和必要条件的区别

充分条件和必要条件是高考中常考的题型之一, 主要以选择题出现,难度一般中低档。

考查形式一般有以下三种：

( 1 )判断指定条件与结论之间的关系；( 2 )探求结论成立的充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件；

( 3 )与命题的真假性综合命题。

判断充分条件与必要条件的常用方法有: (1)定义法; (2)集合法; (3)等价法。

利用概念判断可按以下步骤进行：

第一步：确定条件是什么，结论是什么；

第二涉：尝试从条件去推结论，再从结论去推条件；

第三步：确定条件是结论的什么条件。

例1 命题p：是命题q：什么条件？

分析　由命题p知x=y=0，从而xy=0，由定义知pq

但xy=0 即qp

所以p是q的充分而不必要条件。

注：本题直接通过充分条件与必要条件的概念来判断。