牛顿与牛吃草问题

牛顿与牛吃草问题

牛顿是17世纪英国最著名的数学家。他不仅喜欢探索高深的数学理论，也很重视数学教育，还曾专门为中学生编写过一套数学课本。牛顿认为：“学习科学时，题目比规则还要有用些。”所以他在书中编排了许多复杂而又有趣的数学题，用来锻炼学生的数学思维能力。下面这个题目就是书中一道著名的习题。

“有3块草地，面积分别是顷、10顷和24顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。如果第一块草地可以供12头牛吃4个星期，第二块草地可以供21头牛吃9个星期，那么，第三块草地恰好可以供多少牛吃18个星期？”

这个题目的确复杂而又有趣。因为在几个月的时间里，被牛吃过的草地还会长出新的青草来，而这青草的生长量，又因时间的长短和面积的大小而各不相同！

牛顿潜心研究过这个题目，发现好几种不同的解法。他认为，下面这种比例解法最为有趣。

首先，假设草地上的青草被牛吃过以后不再生长。因为“顷草地可以供12头牛吃4个星期”，按照这个比例，10顷草地就可以供8头牛吃18个星期，或者说可以供16头牛吃9个星期。

由于实际上青草被牛吃过以后还会生长，所以题中说：“10顷草地可以供21头牛吃9个星期。”把这两个结论比较一下就会发现，同样是10顷草地，同样是9个星期，却可以多养活5头牛，就是21与16的差。

这5头牛的差额表明，在9个星期的后5周里，10顷草地上新生的青草可供5头牛吃9个星期。也就是说，可以供2.5头牛吃18个星期。

那么，在18个星期的后14周里，10顷草地上新生的青草可供多少头牛吃18个星期呢？5∶14=2.5∶？，不难算出答案是7头牛。

接下来综合考虑18个星期的各种情况。

前面已经算出，假定青草不生长时，10顷草地可以供8头牛吃18个星期；青草生长时，10顷草地上新生的青草可以供7头牛吃18个星期。因此，10顷草地实际可以供8+7也就是15头牛吃18个星期。按照这个比例，就不难算出24顷草地可以供多少头牛吃18个星期了。

10∶24=15∶？

显然，“？”处应填36，36就是整个题目的答案。

惊！学了这么久的追及问题，其实竟是牛吃草

我找到曾经收藏的一点资料，发给你，希望对你有点帮助。

英国伟大的科学家牛顿，曾经写过一本数学书。书中有一道非常有名的、关于牛在牧场上吃草的题目，后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”。

“牛顿问题”是这样的：“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。”

这类题目的一般解法是：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：

（1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162

（这162包括牧场原有的草和6天新长的草。）

（2）23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207

（这207包括牧场原有的草和9天新长的草。）

（3）1天新长的草为：（207－162）÷（9－6）＝15

（4）牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72

（5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：

72÷（21－15）＝72÷6＝12（天）

所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。

请你算一算。

有一牧场，如果养25只羊，8天可以把草吃尽；养21只羊，12天把草吃尽。如果养15只羊，几天能把牧场上不断生长的草吃尽呢？

有家长提问——

甲乙两车分别从AB两地同时出发同向而行，乙在前甲在后，若甲车以2倍原速去追需5小时追上乙车，若甲车以3倍原速去追则需3小时，那么甲车以原速去追需几小时？

他说——

孩子说这道题可以列算式“(2×5-3×3)÷2”去求乙车车速，我问他为什么，他讲了一通我还是听不明白，关键是，这个速度的单位是什么呀？请教一下⑨老师，这样列算式对吗？

1、先做一道经典牛吃草问题，理解“总消耗=总生长”模型；

2、再回到本题，把追及问题中的“路程差”“乙速”“甲速”“速度倍数”“小时数”分别转化为牛吃草问题中的“原草”“草速”“牛速”“头数”“天数”；

3、先设甲按照原速每小时走1份路程，然后按照牛吃草问题的标准解法列算式求出“草速”（乙速）和“原草”（路程差）；

4、最后回到追及模型，用“路程差”除以“速度差”求得“追及时间”.

1、以上是一道经典的牛吃草问题，做题前先厘清以下概念：

原草——牛吃草之前就已经存在的若干“份”草

草速——草地每天新长出几“份”草

牛速——1头牛1天吃1“份”草[1]

总消耗——若干头牛连着吃若干天所吃的草量

总生长——原来就有的草量加上牛吃草过程中新长出的草量

2、解决牛吃草问题的数学模型为“存量输入输出模型”[2]，该模型符合一个等式——

总消耗=总生长

等式具体展开变为——

牛速×头数×天数=原草+新草

牛速×头数×天数=原草+草速×天数；

3、从第2条的等量关系可以看出，牛儿们吃完草地上的所有草时，它们的胃里装的不仅仅是最开始草地上所有的草（原草），还有它们吃草的这些天新长出来的草（新草）；

4、那么请思考：同一块草地5天吃光与3天吃光，哪一种吃法吃的草的总量更多？

5、同一块草地的原草肯定是一样的，所以初学者往往会以为无论吃5天还是吃3天都吃了一样多的草，这时无需多解释，直接通过计算来比较——

（设每头牛每天吃1份草）

①“2头牛吃5天”共吃了1份/头·天×2头×5天=10份草

②“3头牛吃3天”共吃了1份/头·天×3头×3天=9份草

通过①②比较，我们发现5天吃的草量会比吃3天的多；

6、那么请思考：同一块草地的原草一样多，为什么“吃5天”就会比“吃3天”吃的草量多呢？

7、这样问就算是初学者也能想明白——这是因为两种吃法所吃的“新草”的量不同，而新草与天数正相关：新草=草速×天数，即，同一块草地在全部吃光前花的时间越久，能吃到的新草就会越多；

8、以上定性比较完成后，接下来是定量的差量分析[3]：

第5条中情况①“吃5天”与情况②“吃3天”所吃的草量相差10份-9份=1份——

为什么会相差这1份呢？

如果都是吃3天还会相差这1份草吗？

9、相差1份草的原因显然不是原草而是新草，而吃5天与吃3天的“前3天”也必定是一样多的新草，那么唯一的不同就在于“吃5天比吃3天多吃了2天”——

正是因为多吃了2天，所以让草地多长了2天的新草！

10、第5条中情况①“吃5天”与情况②“吃3天”所吃的草量相差的1份来自于多长2天的新草，那么1天所长的新草（草速）即可求出——

草速：(1份/头·天×2头×5天－1份/头·天×3头×3天)÷(5天-3天)=0.5份/天

11、总消耗=原草+新草

原草=总消耗-新草

原草=牛速×头数×天数-草速×天数[4]

原草=1份/头·天×2头×5天-0.5份/天×5天

原草=10份-2.5份

原草=7.5份

12、题目最后问的是“如果让1头牛来吃，吃光草地需几天”，考虑每一天的“消耗”与“生长”，每天1头牛会吃1份草，而每天草地又会长出0.5份新草，所以每天牛在消耗了新草之后，只能吃掉1份-0.5份=0.5份原草，而原草一共有7.5份，全部吃光需要几天：

天数=7.5份÷(1份/天-0.5份/天)

天数=7.5份÷0.5份/天

天数=15天

答：如果让1头牛来吃，吃光草地需15天.

1、以上是一道行程问题中的追及问题，做题前先厘清以下概念：

路程差——甲开始追乙之前就已经存在的AB之间路程，这段路程恰好等于“甲从A出发到追上乙所走的路程”减去“乙从B出发到被甲追上所走的路程”

乙速——被追者每小时走的路程，这个速度用来“新增”两人的差距

甲速——追逐者每小时走的路程，这个速度用来“吃掉”两人的差距

速度差——速度差等于甲速减乙速，速度差代表两人差距每小时缩短的距离，只有当速度差大于0时甲才追得上乙

追及时间——甲乙同时出发后甲追上乙所经历的时长

2、根据以上概念不难得出追及模型公式[5]——

路程差=速度差×追及时间

3、接下来我们把以上追及问题中的概念分别转化为牛吃草问题中的术语：

甲速→牛速——设甲以原速每小时走1份路程

路程差→原草——甲开始追乙之前就已经存在的若干“份”路程

乙速→草速——在原有路程差基础上，乙每小时新增若干份的路程用来拉开与甲的差距

追及小时数→天数——甲需要几个小时把两人差距“吃光”

原速倍数→头数——设甲原速每小时行1份路程，则2倍速每小时行2份，3倍速每小时行3份，类似于一头牛每小时吃1份草，两头牛每小时吃2份草，三头牛每小时吃3份草

天数→小时数——都是时间单位

4、然后套用牛吃草问题中的数学模型——

总追回（总消耗）=总差距（总生长）

以上等式具体展开变为——

甲速×速度倍数×追及小时数=原路程差+新增路程差

甲速×速度倍数×追及小时数=原路程差+乙速×追及小时数

5、通过画行程图可以看出，甲追上乙时，甲所走的路程不仅仅是最开始的AB距离（原路程差），还包含乙被追过程中所走的距离（新增路程差）；

6、通过上下对比行程图中的情况①“2倍速追5小时”与情况②“3倍速追3小时”，可以发现甲在情况①比情况②多走了“乙的两小格”[6]；

7、另一方面，我们通过计算来比较两种情况下甲的路程——

（设甲以原速每小时走1份路程）

①“2倍速追5小时”甲共走了1份/倍·时×2倍×5小时=10份路程

②“3倍速追3小时”甲共走了1份/倍·时×3倍×3小时=9份路程

通过①②比较，我们发现第6条中情况①“追5小时”与情况②“追3小时”的路程相差10份-9份=1份；

8、那么请思考：为什么会相差这1份呢？如果都是追3小时会相差这1份路程吗？

9、相差1份路程的原因显然不是原路程差而是新增路程差，而追5小时与追3小时的“前3小时”也必定是一样多的新增路程，那么唯一的不同就在于“追5小时比追3小时多追了2小时”——正是因为乙被多追了2小时，所以让他多跑了2小时的路程！

10、既然情况①“追5小时”与情况②“追3小时”甲所走的路程相差的1份来自于乙多走2小时的新增路程差，那么1小时的新增路程差（乙速）即可求出——

乙速（草速）：(1份/倍·小时×2倍×5小时－1份/倍·小时×3倍×3小时)÷(5小时-3小时)=0.5份/时

11、总追回（总消耗）=原路程差（原草）+新增路程差（新草）

原路程差（原草）=总追回-新增路程差

原路程差（原草）=甲速×速度倍数×追及小时数-乙速×追及小时数[7]

原路程差（原草）=1份/倍·小时×2倍×5小时－0.5份/小时×5小时

原路程差（原草）=10份-2.5份

原路程差（原草）=7.5份

12、题目最后问的是“甲车以原速去追需几小时”，考虑每小时甲乙差距的“追回”与“拉开”，甲以原速每小时追回1份差距，而每小时乙又拉开0.5份差距，所以每小时甲在抵消了新增差距之后，只能追回1份-0.5份=0.5份差距，而原路程差一共有7.5份，全部追回需要几小时：

追及小时数=7.5份÷(1份/小时-0.5份/小时)

追及小时数=7.5份÷0.5份/小时

追及小时数=15小时

答：甲车以原速去追需15小时.

1、本文呈现了“行程体系中的追及问题”与“应用体系中的牛吃草问题”的共通之处——通过差量分析[3]找到单位时间的新增量，差量分析作为底层原理还广泛存在于其他题型，推荐读者自行总结；

2、通过引入牛吃草问题的默认假设：每头牛每天吃1份草，将追及问题中的速度、路程份数化，突破了计算上的难点；

3、通过将经典牛吃草问题的若干概念映射到追及问题中，建立了“原草”与“原路程差”、“草速”与“乙速”、“牛速”与“甲速”等概念的对应，在对应中我们发现这些“概念”其实也是可替换的变量，不变的是更本质更通用的“数学模型”；

4、无论是“牛吃草”还是“n倍速追及”，都强调“数学模型”的建立与应用，何为“模型”，⑨老师的理解是“通过动态转化实现某种功能的系统”——

①符合某个数学模型的问题中，具体的数据[8]或概念[9]是模型的“元素”，“元素”可以随时改变数值或替换为新概念但不影响模型的“结构”

②“结构”则是等量关系，把零散的“元素”通过等式连接起来

③等式中从一端到另一端，代表着实现了某种转化的“功能”，比如等式——牛速×头数×天数=原草+草速×天数，从左到右就实现了将“总消耗量转化为总生产量”的功能

5、画行程图上下对齐并对比两种情况的线段能更加直观地完成差量分析，这也反过来提示我们其实牛吃草问题也可以画线段图来分析.

1^题目未提到牛速时，通常默认牛速为“1份/头·天”，即默认每头牛每天吃1份草，其实默认牛速为“1”只是一种习惯，当然也可以设每头牛每天吃2份草，这并不影响最终结果.

2^存量即原草，也就是某个系统在输入之前已经存在一部分量了，输入即“草速×天数”，是指在没有输出的情况下，系统内含量会随时间匀速增加，输出即“牛速×头数×天数”，也就是若干头牛吃若干天成规模地消耗掉系统内的含量，值得注意的是，该模型中输入如果等于输出，存量则会维持动态平衡.

3^ab差量分析通常是为了找到总量的差距与单量差距之间的份数关系，关系式为“总差=每份差×份数”，该分析法广泛用于小学数学应用题中，比如差倍问题、盈亏问题、牛吃草、行程问题、浓度问题等.

4^此处既可以代入情况①“2头牛吃5天”也可以代入情况②“3头牛吃3天”，但是请注意，牛吃了几天，新草就长了几天.

5^简单导出追及模型公式：设甲速为V甲，乙速为V乙，甲从A出发到追上乙所走的路程为S甲，乙从B出发到被甲追上所走的路程为S乙，那么有S甲-S乙=路程差，由于甲乙从出发到停止经历了共同的追及时间t，于是路程差=S甲-S乙=V甲×t-V乙×t=(V甲-V乙)×t，我们把“V甲-V乙”又叫做速度差即V差，于是进一步有——路程差=V差×t.

6^图中乙的1小格代表乙1小时所走路程，2小格即乙2小时走的路程.

7^此处既可以代入情况①“2倍速追5小时”也可以代入情况②“3倍速追3小时”，但是请注意，追了几小时，新路程差就新增了几小时.

8^比如“2头牛”“5小时”.

9^比如“草速”“原草”“牛速”.