2024湖北公务员考试行测数量关系：巧解不定方程的三个好办法

一、不定方程的定义

当未知数的个数大于独立方程的个数时，我们称这样的方程为不定方程。在实数范围内，不定方程的解会有无数组，是不固定的。

二、正整数范围内求解不定方程

解不定方程时根据未知数的取值特点进行讨论，会大大减少讨论的次数，所以根据不定方程的特点，常用的解不定方程的方法除代入排除外，还可结合整除、奇偶性和尾数法等多种方法求解。

1.看到系数和常数有公约数，优先想整除

例1

小张的孩子出生的月份乘以29，出生的日期乘以24，所得的两个乘积加起来刚好等于900，问孩子出生在哪一个季度?

A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度

解析D。设出生月份为x，出生日期为y，月份和日期都是正整数，则29x+24y=900，问题为出生的哪一季度，需要知道小张孩子出生的月份，即x的值。由于24、900有公约数12，即都是12的倍数，所以29x也应是12的倍数，且29并不是12的倍数，则x应是12的倍数，即出生月份为12月，也就是第四季度。选择D选项。

方法总结：在不定方程中，当其中一项未知数的系数与常数项有除1外的公约数时，可结合整除特性分析排除错误选项。

2.系数有奇有偶，方程不用愁

例2

某单位向希望工程捐款。其中部门领导每人捐50元，普通员工每人捐20元，部门所有人共捐款320元，已知该部门总人数超过10人，问该部门可能有几名部门领导?

A.1 B.2 C.3 D.4

解析B。设领导有x人，普通员工y人，人数必须为正整数，则50x+20y=320，化简得5x+2y=32。32和2y是偶数，则 5x必然是偶数，x为偶数，排除A、C。若领导有4人，总人数没有超过10，若领导有2人，总人数超过10人，故领导为2人，答案选B。

方法总结：在不定方程中，当未知数的系数为一奇一偶时，可结合奇偶性分析，排除错误选项。

3.系数是5的倍数，尾数来帮你

例3

现有451个同样大小的橙子装入大、小两种袋子中，已知大袋每袋装20个橙子，小袋每袋装17个橙子，每个袋子都必须装满，问至少需要小袋子的个数：

A.5 B.3 C.13 D.9

解析B。设大袋子有x个，小袋子有y个，根据题意小袋子、大袋子共装了451个橙子，可列方程 20x+17y=451。由于x、y 均为整数，20x的尾数一定为0，则17y的尾数必为 1，排除 A、D，代入 B符合题意。

方法总结：当不定方程的解有正整数范围限制时，若未知数的系数是5的倍数，那么该项的尾数就是0或5，就可以结合常数项的尾数将另外一项的尾数确定，进而排除错误选项。

以上三种方法并不是孤立存在的，根据不同方程特点，考生们可以灵活选择，甚至三种方法可以结合到一起使用。

通过上述讲解，利用整除、奇偶性、尾数法解不定方程，相信大家学会了，练习一下吧!

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