2023四川公务员考试行测极值问题之一元二次函数求极值

例1

厂家生产销售某新型节能产品，产品生产成本是168元，销售定价为238元，一位买家向该厂家预定了120件产品，并提出如果产品售价每降低2元，就多订购8件。则该厂家在这笔交易中所能获得的最大利润是( )元。

A.17920 B.13920 C.10000 D.8400

解析C。由题目所给信息，我们知道所求为总利润的最大值。又因为总利润=单件利润×销售量，所以需要把单件的利润以及销售量分别表示出来。具体来看，每一件产品的利润为238-168=70(元)，售价每降低2元，利润也会跟着降低2元，所以在这不妨假设售价降低了x个2元，对应单件的利润应表示为(70-2x)元;原销售量为120件，并且售价每降低2元，销售量就会增加8件，因此销售量应表示为(120+8x)件。故总利润为(70-2x)×(120+8x)元。所求为最大利润，即这个函数的极大值。

在这里我们可以利用一元二次函数图像的对称性来求解，先让函数的值等于0，即令：(70-2x)×(120+8x)=0，解得：x1=35或x2=-15。由其对称性可知，x1和x2必关于对称轴对称，换言之，函数图像的对称轴正好位于x1和x2的正中间，即函数的对称轴为也就是说当x=10时，能获得最大利润。代入原函数，最大利润为(70-2×10)×(120+8×10)=10000(元)，故选C。

例2

某木苗公司准备出售一批木苗，如果每株以4元出售，可卖20万株，若木苗单价每提高0.4元，就会少卖10000株。那么，在最佳定价的情况下，该公司的最大收入是多少万元?

A.30 B.60 C.90 D.100

解析C。题目所求为最大收入，而收入=单价×销售量，因此我们需要把单价和销售量分别表示出来。先来看单价，单价为4元，设提高了x个0.4元，则单价=(4+0.4x)元;销售量为20万株，单价每提高0.4元，销售量便减少1万株，所以销售量=(20-x)万株。因此收入=(4+0.4x)×(20-x)万元，所求的收入最大值就是求这个一元二次函数的极大值。可以利用函数的对称性来求解。令：(4+0.4x)×(20-x)=0，解得x1=-10或x2=20，由其对称性可知，x1和x2必关于对称轴对称，即当x=5时，收入最大，最大收入为(4+0.4×5)×(20-5)=90(万元)，故选C。