行测数量关系：小小的篱笆

大家以前可能接触过类似的题目：如何用固定长度的篱笆围成一个面积最大的菜园?这个题目它无非就是研究和与积之间的关系!所运用的知识点是基于均值不等式的两个结论，我们一起来学习!

什么是均值不等式

若a、b为实数，则当且仅当a=b时，=号成立。

均值不等式的结论

1、若a+b为定值，a、b间的差值越小，a、b乘积越大，当且仅当a=b时，ab取得最大值。

2、若ab为定值，a、b间的差值越小，a、b和越小，当且仅当a=b时，a+b取得最小值。

简记为，和定差小积大，积定差小和小。

经典例题

例1

某农户要用篱笆将自己的菜园围起来，已知篱笆的总长度为48米。请问农户的菜园面积最大为多少平方米?

A.100 B.120 C.144 D.156

答案C。解析：设篱笆的长宽分别为a，b，则2×(a+b)=48，可得a+b=24。求菜园的面积最大为多少平方米，即求ab的最大值。根据均值不等式的结论：当a=b=12时，ab取得最大值为12×12=144。故菜园的最大面积为144平方米，正确答案为C。

例2

建造一个容积为16立方米，深为4米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米160元和每平方米100元，那么该水池的最低造价是多少元?

A.3980 B.3560 C.3270 D.3840

答案D。解析：若假设长方体无盖水池底的边长分别为a、b，则池底的面积为a×b=16÷4=4平方米，则可得水池的最低造价为4×160+(a×4×2+b×4×2)×100=640+800×(a+b)，求最低造价，即求a+b的最小值，符合乘积一定，求和最小，当且仅当a=b=2时，a+b的和最小为4，则最低造价为640+800×(a+b)=640+800×(2+2)=3840，故选择D选项。

特殊情况

当题目中要求a与b必须为整数，而当a=b求解出a与b又为非整数时，如何处理呢?只要使得a与b尽可能接近即可，其他结论保持一致。

例3

长方形广场的周长为18米，求该广场的面积最大是多少平方米?(该广场的长和宽必须为整数米)

A.14 B.16 C.20 D.22.25

答案C。解析：设长方形广场的长为a，宽为b，则2×(a+b)=18，可得a+b=9，求广场的最大面积为ab。根据均值不等式的结论：和定差小积大，即a+b=9一定，当a=b=4.5时，ab有最大值为20.25。但已知长和宽为整数米，所以当a与b尽可能接近时，即a=4，b=5时，ab有最大值为20，所以广场的面积为20平方米。故正确答案为C。

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