沃纳?海森堡在理论物理学上做出了哪些贡献？

1922年6月，在德国哥廷根“玻尔节”上，量子理论创始人玻尔作了7次著名演讲，简明地阐述了原子结构理论。在听众中，有一位专程从慕尼黑赶来的二年级大学生，他就是沃纳?海森堡。在演讲后的问题讨论中，海森堡对玻尔的一些观点提出了异议。这位大学生的发言，引起了玻尔的注意。当讨论结束时，玻尔邀请他一道出去散步，并仔细地交谈了量子理论的有关问题。他们在哥廷根郊外谈论了好几个小时，仍各持己见。尽管如此，玻尔诚恳待人的作风深深地打动了海森堡的心。而海森堡的聪明才智也给玻尔留下了深刻的印象，他向海森堡发出了去哥本哈根作学术访问的邀请。海森堡后来回忆说，这是他所能记起的“关于近代原子理论的物理问题和哲学问题的第一次全面彻底的讨论，而且它对我后来的事业肯定起了决定性的作用”。

海森堡一生在理论物理学上作出了重要成就，而他最大的贡献无疑是创建矩阵力学。在这之前，他在关于流体力学、反常塞曼效应、分子模型以及色散理论等方面做了大量研究工作。这些工作为他创立矩阵力学作了准备。尤其是与玻恩的合作，使他感受到建立新量子理论的迫切性。

玻恩原来是研究晶体点阵动力学的，1921年到哥廷根大学任理论物理学教授后开始原子理论的研究工作。他让他的学生学点量子物理并想同索末菲展开竞争。哥廷根的著名数学家希尔伯特主张数学家和物理学家结合起来研究物理学，他和玻恩联合组织了“物质结构”讨论班。此外，在玻恩周围还有各种讨论班，如“初学者讨论班”、“晚上讨论班”、“原子力学Ⅰ编写组”等，学术气氛非常浓。为了繁荣科学，玻恩还常邀请各国著名学者来访讲学。这大大开扩了学生们的眼界。玻恩对学生亲切不拘小节。在课余，他常和学生一起散步、野餐、演奏乐曲。玻恩在他主持的讨论班上鼓励提问和批评。因此，在玻恩周围常聚集着一大批有才能的学生，海森堡就是其中一个。

如果说海森堡在索末菲那里受到关于玻尔理论的严格训练，那么他在玻恩那里更多的是学到对玻尔理论的怀疑。当玻恩学派对玻尔理论的正确性表示怀疑时，索末菲学派还相信只要附加上普朗克、玻尔和索末菲提出的量子条件，牛顿力学还可以解决原子领域的问题。海森堡认为玻恩比波尔更加坚信要有一套完整的数学上统一的量子理论，而不是在牛顿力学、量子条件和光量子假设之间的徘徊与调和。

1922年，玻恩和他当时的助手泡利一起深入讨论了把微扰论应用于原子理论的问题，发展了微扰论能量表示的一般方法。1923年，玻恩和海森堡合作把微扰论用于氦原子，虽然理论结果在定性方面与实验一致，但定量方面差距很大。这使他们坚信，物理学的基础必须进行根本的变革。

1924年，在哥廷根讨论班上玻恩曾强调，把量子论的困难单单归诸辐射与力学体系之间的相互作用是不正确的。他认为力学必须加以改造，必须用某种量子力学来代替才能提供理解原子现象的基础。玻恩甚至在1924年的一篇论文中首次把期待中的新理论称作“量子力学”。这时玻恩对他自己所期望的新理论已有了一些模糊的领悟。而海森堡则找到了描述这种理论的数学方法。

海森堡在哥廷根虽然只是一个有奖学金的研究人员，但实际是玻思的助教。他与玻恩密切合作，力图从符号意义上的力学模型出发，建立一种新的力学。一年后他以一篇题为《关于量子论的形式规律在反常塞曼效应问题上的更改》的论文取得大学授课资格，成为无薪讲师。同年9月，海森堡作为领取“洛克菲勒奖学金”的研究人员来到丹麦的哥本哈根，而他的矩阵力学之类的创造性工作，事实上也是在哥本哈根生根发芽的。

海森堡在哥本哈根主要与荷兰物理学家克拉姆斯一起工作。克拉姆斯从1916年起担任玻尔的助手，在发展量子理论方面帮助玻尔做了不少工作。他多才多艺，不仅会5种外语，而且还会拉大提琴，在工作之余常在海森堡的钢琴伴奏下演奏。而他在学习上又对学生要求得极为严格。1924年初，主要根据当时到哥本哈根来工作的美国物理学家斯莱特提出的思想，玻尔、克拉姆斯和斯莱特一起发表了一种对后来影响较大的理论，亦称BKS理论。这个理论的中心思想是：给每个原子引进一组能产生虚拟辐射场的虚振子，而每一个这种虚振于具有一个跃迁频率(即原子的跃迁频率)。这就把不连续的原子过程与连续的辐射场联系起来了，从而可以利用对应原理，采取类似于经典理论的方法来处理量子论的色散问题。克拉姆斯利用这种思想导出了他的色散公式。

如果说克拉姆斯的色散理论实际上摧毁了电子轨道概念的基础，那么可以说海森堡更倾向于放弃电子轨道模型，用正确的数学公式来表示玻尔的对应原理。他和克拉姆斯一起用玻恩的方法研究色散问题，并合作写了一篇论文《关于原子对辐射的散射》。

1925年4月海森堡回到哥廷根。他想进一步在上述工作的基础上解决氢原子谱线强度问题，但在数学上遇到了很大困难。于是，他转而想从根本上解决问题，即找出一个与经典运动方程对应的，在逻辑上内在一致的电子在氢原子中的运动方程。但根据经典力学，这个方程应当描述电子在原子中运动的轨迹，可是原子太小了，电子轨道既看不见，也摸不着，也就是说是不可观察的。那么，如何从实验上来检验所得方程的正确性呢?

正当海森堡百思不得其解的时候，他得了枯草热病。这是由于某种有毒花粉引起的一种过敏症，需要到海边去治疗。当他在北海的赫尔兰岛上休养时，突然从爱因斯坦创立相对论的过程中得到启发。爱因斯坦认为物体的绝对速度和两个不同地点所发生事件的绝对同时性等概念是没有意义的，因为这些概念在实际上是不可观察的。于是海森堡认为，既然玻尔原理中确定半径和转动周期的电子轨道是不可观察的，同样也没有意义。人们在实验中能观察到的只是光谱线的频率和强度。

于是，海森堡从玻尔对应原理出发，“设法建立起一个理论的量子力学，它与经典力学相类似，而在这种量子力学中，只有可观察量之间的关系出现。”他在玻尔的频率条件和克拉姆斯的色散理论中看到了可以这样做的迹象。根据玻尔的频率条件，可以用电子的特征振幅来表示原子中各电子间的相互作用。运用克拉姆斯的量子色散理论，从经典运动方程出发，可以得出一个仅仅以可观测量为基础的量子力学运动方程。这个方程的解在理论上应当能给出原子系统完全确定的频率和能量值，并且也能给出完全确定的量子论的跃迁几率。

经过几天紧张的计算，他用得出的方程处理了一个较简单的非谐振子的量子力学系统和绕核作圆周运动的电子的情况，都获得了成功。

当他最后算完的时候，已是凌晨三点多钟了。此时他十分兴奋，睡意全无，奔出室外，攀上一座海边的岩塔，一直等到旭日东升。他后来回忆当时的心情时说：“最初，我深为惊奇，我感到，通过原于现象的表面，我正在窥测着一个奇妙的内部世界，而对自然界如此慷慨地层现在我面前的丰富的数学结构，使我感到眼花缭乱。”

海森堡在赫尔兰岛上住了一个多星期，终于写成了《关于运动学和动力学的量子论重新解释》一文。他发现量子力学量与经典力学量的不同之处在于：量子力学不遵守一般乘法的交换律，它们是不可对易的，即AB≠BA。从他所得出的方程出发，可以自然地得出符合量子条件的解，而不必像玻尔那样附加几条假说。他知道，“这个十分明显但又错综复杂的物理学问题，只能通过对数学方法的更透彻的研究来解决”。而他的理论在数学处理上只是处于开始阶段，仅能应用于一些简单的例子。所以，他对自己的论文并没十分的把握，犹豫着不敢立即送去发表。

经过反复思考，海森堡于7月9日把写完的那篇论文寄给他最严格的评论家泡利，并说：“我冒昧地直接把我的论文手稿寄给您，因为我相信，至少在批判的即否定的方面，它包含了一些真正的物理学。同时我很抱歉，因为我必须要求您在二至三天内把稿寄还我。我必须要么在我留在这里的最后几天内完成它，要么把它付之一炬。”

泡利热情支持海森堡理论，并表示，“我向海森堡的勇敢假定致敬”。正是由于泡利的鼓励和支持，这才使海森堡下定决心，将论文送给他的老师玻恩审阅。

玻恩看到海森堡的论文后，很快就深刻地认识到他的学生这一工作的重大意义。这时由于海森堡又到哥本哈根去了，他就一方面将海森堡具有划时代意义的论文推荐到《物理学记事》杂志发表，另一方面又与学生约尔丹合作，试图在数学上进一步把海森堡的思想发展成一门系统的量子力学理论。

玻恩经过一个星期的苦苦思索，突然想到，如果将玻尔每个定态的能级横写一次，再竖写一次，就会得出一个矩阵。其中，对角位置对应于状态，非对角位置则对应于跃迁。于是，海森堡的那些可观察量就可以用这些列阵来表示，而这些列阵不就是矩阵吗!这种矩阵的运算方法正好与海森堡所得出的运算法则一致。真是“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫”，数学家早就为物理学准备好了数学工具，只看哪一位物理学家能捷足先登了。由长期在数学之都哥廷根工作，对数学深感兴趣的玻恩来摘取胜利之果，倒也合情合理，并非偶然。

玻恩为这个发现而激动，他立即和约尔丹投入紧张的计算，只用了几天时间，就写出了一篇论文《关于量子力学》。在这篇论文中，他们阐明了矩阵运算法则，应用对应原理，从经典的哈密顿正则方程出发，把矩阵形式应用到海森堡的理论中，得到了一个相当于海森堡量子条件的矩阵方程。根据这个方程，可以进一步导出能量守恒定律和玻尔的频率定则，并成功地应用到了谐振子和非谐振子的量子力学系统。

次年2月，他们又与海森堡合作，以三人名义共同发表了著名的《关于量子力学Ⅱ》一文，把按海森堡途径发展的量子力学推广到任意多个自由度的体系上，完成了对非简单体系及一大类简单体系的微扰理论，导出了动量和角动量守恒定律、选择定则和强度公式。最后，还把该理论用到黑体空腔的本征振动的统计问题上。

这篇论文在矩阵形式下大大发挥了海森堡的最初想法，终于使矩阵形式的量子力学形成了一个完整的体系。它是以微观客体的粒子图象为基础而建立起来的新力学体系，由于它运用了矩阵数学形式，所以又称为矩阵力学。

不久，泡利首先将这种新力学应用于氢原子光谱，算出了氢原子的定态能值，结果与玻尔的结论完全相符，从而证实了新理论的正确性。接着，物理学家们又用量子力学处理过去许多使人感到困惑的原子问题，也都获得了成功。于是，哥廷根的这个胜利成果很快就在物理学界传播开了。爱因斯坦风趣地称，“海森堡生了一个大量子蛋”。剑桥、柏林、哥本哈根都纷纷邀请海森堡去讲他的新量子力学。

在以后的岁月里，海森堡继续在量子力学的道路上探索，取得了累累硕果。他建立的“测不准关系”成为量子力学的重要原理之一，并因此于1932年荣获诺贝尔物理奖。由于海森堡的上述重大贡献，他被公认为量子力学的创始人之一。

矩阵力学被看作是用定量的关系来代替定性的对应原理的一个成功尝试。在创立这一理论的过程中，海森堡借助了一条重要的方法论原则，即可观察性原则。这个原则要求，在理论上应该抛弃那些实际上不可观测的量，而直接采用可观测的量。

海森堡有幸师从索末菲、玻恩、玻尔这样一些当代第一流的物理学家。他后来回忆说，他从索末菲那里学了物理学，从玻恩那里学了数学，从玻尔那里学了哲学。但他决不盲从，他敢于怀疑，敢于批判，常常向老师提出尖锐的问题，与他们展开深刻的讨论。他的名言是：“科学扎根于讨论。”在解决新的物理学问题时，他敢于创新。他创立矩阵力学，作出科学上的伟大贡献，正是源于这种科学探索精神。他曾说：“在每一个崭新的认识阶段，我们永远应该以哥伦布为榜样，他勇于离开他已熟悉的世界，怀着近乎狂热的希望到大洋彼岸找到了新大陆。”

复变函数论的奠基人19世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立，它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯已对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数仅有柯西和皮瑟有些孤立的结论。

1851年，黎曼在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文，后来又在《数学杂志》上发表了四篇重要文章，对其博士论文中思想的做了进一步的阐述，一方面总结前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理，同时创立多值解析函数的理论基础，并由此为几个不同方向的进展铺平了道路。

柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，维尔斯特拉斯的思想可以从柯西—黎曼的观点推导出来。

在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对函数性质的研究获得一系列成果。

经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼—罗赫定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。

黎曼为完善其博士论文，在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用，将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并在文字的结尾给出著名的黎曼映射定理。 黎曼几何的创始人黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。

1854年，黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格，对全体教员作了一次演讲，该演讲在其逝世后的两年(1868年)以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的几何体系，后人称为黎曼几何。

为竞争巴黎科学院的奖金，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为他的“巴黎之作”。文中对他1854年的文章作了技术性的加工，进一步阐明其几何思想。该文在他死后收集在1876年他的《文集》中。

黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径，这同在欧几里得几何中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。

黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用个可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身，这个可变参数称为流形的坐标，而且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就遍历这个流形。

黎曼仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角。并以这些概念为基础，展开对维流形几何性质的研究。在维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲面弯曲程度的曲率。他证明他在维流形上维数等于三时，欧几里得空间的情形与高斯等人得到的结果是一致的，因而黎曼几何是传统微分几何的推广。

黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想，开展对维流形内蕴性质的研究。黎曼的研究导致另一种非欧几何——椭圆几何学的诞生。

在黎曼看来，有三种不同的几何学。它们的差别在于通过给定一点做关于定直线所作平行线的条数。如果只能作一条平行线，即为熟知的欧几里得几何学；如果一条都不能作，则为椭圆几何学；如果存在一组平行线，就得到第三种几何学，即罗巴切夫斯基几何学。黎曼因此继罗巴切夫斯基以后发展了空间的理论，使得一千多年来关于欧几里得平行公理的讨论宣告结束。他断言，客观空间是一种特殊的流形，预见具有某种特定性质的流形的存在性。这些逐渐被后人一一予以证实。

由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间，对复杂的客观空间有更深层的实用价值。所以在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采取了一些异于前人的手段使表述更简洁，并最终导致张量、外微分及联络等现代几何工具的诞生。爱因斯坦就是成功地以黎曼几何为工具，才将广义相对论几何化。现在，黎曼几何已成为现代理论物理必备的数学基础。 微积分理论的创造性贡献黎曼除对几何和复变函数方面的开拓性工作以外，还以其对l9世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献载入史册。

18世纪末到l9世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支——微积分在概念和证明中表现出的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱进而到维尔斯特拉斯，都以全力的投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克莱研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。

1854年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格，需要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出的是《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。

柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。

黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。

黎曼用自己独特的方法研究傅立叶级数，推广了保证博里叶展开式成立的狄利克莱条件，即关于三角级数收敛的黎曼条件，得出关于三角级数收敛、可积的一系列定理。他还证明：可以把任一条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何指定的和或者发散。 解析数论跨世纪的成果19世纪数论中的一个重要发展是由狄利克莱开创的解析方法和解析成果的导入，而黎曼开创了用复数解析函数研究数论问题的先例，取得跨世纪的成果。

1859年，黎曼发表了《在给定大小之下的素数个数》的论文。这是一篇不到十页的内容极其深到的论文，他将素数的分布的问题归结为函数的问题，现在称为黎曼函数。黎曼证明了函数的一些重要性质，并简要地断言了其它的性质而未予证明。

在黎曼死后的一百多年中，世界上许多最优秀的数学家尽了最大的努力想证明他的这些断言，并在作出这些努力的过程中为分析创立了新的内容丰富的新分支。如今，除了他的一个断言外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决。

那个未解决的问题现称为“黎曼猜想”，即：在带形区域中的一切零点都位于去这条线上(希尔伯特23个问题中的第8个问题)，这个问题迄今没有人证明。对于某些其它的域，布尔巴基学派的成员已证明相应的黎曼猜想。数论中很多问题的解决有赖于这个猜想的解决。黎曼的这一工作既是对解析数论理论的贡献，也极大地丰富了复变函数论的内容。 组合拓扑的开拓者在黎曼博士论文发表以前，已有一些组合拓扑的零散结果，其中著名的如欧拉关于闭凸多面体的顶点、棱、面数关系的欧拉定理。还有一些看起来简单又长期得不到解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四色问题，这些促使了人们对组合拓扑学(当时被人们称为位置几何学或位置分析学)的研究。但拓扑研究的最大推动力来自黎曼的复变函数论的工作。

黎曼在1851年他的博士论文中，以及在他的阿贝尔函数的研究里都强调说，要研究函数，就不可避免地需要位置分析学的一些定理。按现代拓扑学术语来说，黎曼事实上已经对闭曲面按亏格分类。值得提到的是，在其学位论文中，他说到某些函数的全体组成(空间点的)连通闭区域的思想是最早的泛函思想。

比萨大学的数学教授贝蒂曾在意大利与黎曼相会，黎曼由于当时病魔缠身，自身已无能力继续发展其思想，把方法传授给了贝蒂。贝蒂把黎曼面的拓扑分类推广到高维图形的连通性，并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。黎曼是当之无愧的组合拓扑的先期开拓者。 代数几何的开源贡献19世纪后半叶，人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的方法产生极大的兴趣。当时他们把代数不变量和双有理变换的研究称为代数几何。

黎曼在1857年的论文中认为，所有能彼此双有理变换的方程(或曲面)属于同一类，它们有相同的亏格。黎曼把常量的个数叫做“类模数”，常量在双有理变换下是不变量。“类模数”的概念是现在“参模”的特殊情况，研究参模上的结构是现代最热门的领域之一。

著名的代数几何学家克莱布什后来到哥廷根大学担任数学教授，他进一步熟悉了黎曼的工作，并对黎曼的工作给予新的发展。虽然黎曼英年早逝，但世人公认，研究曲线的双有理变换的第一个大的步骤是由黎曼的工作引起的。

黎曼假设　2000年5月24日，美国克雷(Clay)数学研究所公布了7个千禧数学问题。每个问题的奖金均为100万美元。其中黎曼假设被公认为目前数学中(而不仅仅是这7个)最重要的猜想。黎曼假设并非第一次在社会上征寻解答，早在1900年的巴黎国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设(还包括孪生素数猜测和哥德巴赫猜想)。

具体概述关于黎曼-希尔伯特问题是：具有给定单值群的线性微分方程的存在性证明。即：关于素数的方程的所有有意义的解都在一条直线上。

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

1730年，欧拉在研究调和级数：

Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。

时，发现：

Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)......=Π(1-1/p)^-1。

其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n^s(s>1),即可。如果黎曼假设正确：

Π（x)=Li(x)+O(x^1/2*logx)

证明了上式，即证明了黎曼猜想。

在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) =1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。 在数学物理、微分方程等其他领域的丰硕成果黎曼不但对纯数学作出了划时代的贡献，他也十分关心物理及数学与物理世界的关系，他写了一些关于热、光、磁、气体理论、流体力学及声学方面的有关论文。他是对冲击波作数学处理的第一个人，他试图将引力与光统一起来，并研究人耳的数学结构。他将物理问题抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究得到一系列丰硕成果。

黎曼在1857年的论文《对可用高斯级数表示的函数的理论的补充》，及同年写的一个没有发表而后收集在其全集中的一个片断中，他处理了超几何微分方程和讨论带代数系数的阶线性微分方程。这是关于微分方程奇点理论的重要文献。

19世纪后半期，许多数学家花了很多精力研究黎曼问题，然而都失败了，直到1905年希尔伯特和Kellogg借助当时已经发展了的积分方程理论，才第一次给出完全解。

黎曼在常微分方程理论中自守函数的研究上也有建树，在他的1858～1859年关于超几何级数的讲义和1867年发表的关于极小正曲面的一篇遗著中，他建立了为研究二阶线性微分方程而引进的自守函数理论，即现在通称的黎曼——许瓦兹定理。

在偏微分方程的理论和应用上，黎曼在1858年～1859年论文中，创造性的提出解波动方程初值问题的新方法，简化了许多物理问题的难度；他还推广了格林定理；对关于微分方程解的存在性的狄里克莱原理作了杰出的工作，……

黎曼在物理学中使用的偏微分方程的讲义，后来由韦伯以《数学物理的微分方程》编辑出版，这是一本历史名著。

不过，黎曼的创造性工作当时未能得到数学界的一致公认，一方面由于他的思想过于深邃，当时人们难以理解，如无自由移动概念非常曲率的黎曼空间就很难为人接受，直到广义相对论出现才平息了指责；另一方面也由于他的部分工作不够严谨，如在论证黎曼映射定理和黎曼—罗赫定理时，滥用了狄利克雷原理，曾经引起了很大的争议。

黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。