大学生数学竞赛

解：知道“压缩映像”原理吗？

不管怎样先介绍一下压缩映像原理：

对于任一数列{xn}而言，若存在常数r，使得对于任一的n∈N，有：

|x(n+1)-x(n)|≤r|x(n)-x(n-1)|,0＜r＜1.(括号里的数表示下标)

则数列{xn}收敛。

证明如下：

因为|x(n+p)-x(n)|≤∑|x(k)-x(k-1)|（n+1≤k≤n+p）

≤∑r^(k-1)|x(1)-x(0)|

=|x(1)-x(0)|·[r^n-r^(n+p)]/(1-r)

二当n趋向于正无穷时，[r^n-r^(n+p)]/(1-r)趋向于0。

由柯西收敛准则知{xn}收敛。

下面证明本题：

因为x(n+2)-x(n+1)=ε{sin[x(n+1)]-sin[x(n)]}

由中值定理有：ε{sin[x(n+1)]-sin[x(n)]}

=ε·[x(n+1)-x(n)]cos(x′) (x′介于x(n)和x(n+1)之间)

所以有|x(n+2)-x(n+1)|=ε·|x(n+1)-x(n)||cos(x′)|

≤ε·|x(n+1)-x(n)| 0＜ε＜1

利用压缩映像原理可知收敛。

即limξ存在，设limξ=x。

那么就有x=a+ε·sin(x),即x是方程x=a+ε·sin(x)的唯一根。

若有两个根则与极限唯一性矛盾。