大学拓扑学题目

S^2 * R 不是柱面，是有厚度的球壳（不过是开的），那个R可以想象成厚度，这个东西大概和R^3 - {point} 是同胚的；

T^2 * R 是有厚度的轮胎面；

S^1 * R^2 是一个实心的镯子，那一圈是S^1，截面（那个圆面，把外面的边去掉）是R^2；

S^2 * S^1不是R^3的子拓扑空间。S^2 * S^1是紧的，但R^3的紧子集是有界闭集，R^3的三维有界闭集肯定有边界，但S^2 * S^1没有边界。

听说过连接数这个东西（可以Wiki一下linking Number，和你这个差不多）。红线标记的那部分，所谓C1和C2交叉，大概不是指它们在空间里直接相交，而是从我们的视角上看，一条线上的一个点挡住了我们的视野，让我们没法看到另一条线上的一个点（或者可以说，把这两条线投到一个二维平面上之后，它们交叉）。每次C1挡住C2的时候，根据定向可以决定一个+1或者-1（大概就是他所说的，如果从C1的正向方向向量转到C2的正向方向向量是顺时针转一个小于180度的角，那就是+1，逆时针就是-1）。把所有这些+1或者-1加起来（如果C1不止一次挡住C2的话）就是C1和C2的连接数（C1从没挡住过C2的话，连接数就是0）。

蓝色的部分看着比较日常，不见得学术。甚至似乎没有Twisting number或者Wrapping number这样的定义，一般是根据情况直接观察。但是如果只关注连接数的话，比较好的扭结论（Knot Theory）的书或许有些解释，我不专学这个，也不知道有哪些书，哪本好，之类的。可以自己到图书馆或者书店看看，能看懂的就是好书。

绿色的部分，我只能直观想。比如C1和C2是纸面上两条水平的线段，C1在C2上面，它们的连接数是0，假如拽住C1的中点往纸面外拉，然后往下拉（两个端点固定），那当C1中间的部分圧到C2上面的时候，左边会给出一个+1，右边会给出一个-1，加起来还是0。这个笼统地说大概算代数拓扑，不过要学代数拓扑的话，大概要先学点集拓扑，然后代数拓扑里面主要的部分还是一个同伦

同调一类的东西，那些是数学里面稍精确描述扭结所需要的语言。所以如果看数学书的话，看到这，会花不少时间。如果有些偏科普一点的书，或许还不错。

剩下的标记的部分，和蓝色标记的部分，都不是那么拓扑。所谓扭转，大概不是扭转端部。假如像图一的最上面的那个图，那个绳子是直的，但是假设这时候这绳子一头已经被转了好几圈了，那它应该绷着很大劲。为了不产生疑惑，我们仍然按住端点不动，而假设时候绳子的材质一下变软了（这对拓扑上的任何性质都没有影响），那它可能就一下变成图一最下面那个图的样子了，然后就少绷着了很多劲。从这种绷很大劲，但是不打几个圈，变成少绷些劲，然后打几个圈，这大概就是他所说的缠绕数和扭转数之间的转换吧。

总体来说这篇文章是说，这个带子如果想“平坦”一点（势能小一点），就可能得像图3(b)或者图一最下面那个图那样绕点圈。跟拓扑关系似乎不那么大。