[固体力学中的加权余量法简介] 加权余量法

青海师专学报(教育科学)

JOURNA L OF QINGHAI JUNIOR TEACHERS ’COLLEGE

(Education Science)

2004年第5期N o5. 2004

固体力学中的加权余量法简介

张晓哲1, 王燕昌2

(1. 2. 宁夏大学, )

摘　要:加权余量法(Weighted Residual Method ) , 当前岩土工程计算中, 许多流行算法如有限元法、无网格法、, 本文对加权余量法进行了简要概述, 阐述了该方法的理论基础, 权函数、　关键词:; ;　中图分类号:A　文章编号:1007-0117(2004) 05-0049-03

1　引言

2

∫v (k T +q v ) wdV =0　(2. 4)

加权余量法(Weighted Residual Method ) 在固体力学中, 是求解线性、非线性微分方程的一种有效方法[1], 它是基于等效积分形式的近似方法[2], 也是通用的数值计算方法. 有限元法、边界元法、无网格法都是加权余量法的特殊情况, 由于这三种方法各有其特点, 所以都各自发展为一种独立的方法, 加权余量法最早是用于流体力学, 传热等科学领域, [3-5]后在固体力学中得到了更大的发展, 本文将就加权余量法所涉及的问题作简要概述. 2　加权余量法的理论基础

同理, 若边界条件式(2. 2) 和(2. 3) 在各自边界上任一点都满足, 则对任意函数w ,w 都有下面式子成立:

(T -T ) wd Г∫=0　(2. 5) Г1

(q -q ) wd Г∫=0Г2

(2. 6)

综合(2. 4) , (2. 5) , (2. 6)

2

(T -T ) wd Г得:∫v (k T +q v ) wdV +∫Г1

(q -q ) wd Г+∫=0Г2

2

∫v (k T +q v ) wdV

(2. 7)

在一般工程、科学计算问题中, 最终问题的解决往往可归结为在一定边界条件、初始条件下求解微分方程组. 在数学上, 一般把微分方程形式称为强形

式(strong form ) , 在求数值解时, 往往把微分方程边界条件转换成变分形式(weak form ) [6].

下面将以一稳态热传导方程为例, 来介绍微分方程所对应的弱形式. 稳态热传导方程, 边界条件如下:

(2. 1) k 2T +q v =0在域V 内

T -T =0

(T -T ) wd Г+∫=0(2. 8) Г1

2

∫v (k T +q v ) wdV

(q -q ) wd Г+∫=0Г2

(

2. 9)

在边界Г1上(2. 2)

q -q =0在边界Г2上(2. 3)

式中T 为边界Г1上已知温度,q 为边界Г2上已知热流,q ≡T n ,n 是有关边界上的外法线方向. 由于微分

方程(2. 1) 在域内任意一点都满足, 所以下式成立:

收稿日期:2004-05-25

作者简介:张晓哲(1980-) , 男, 山西浮山人, 宁夏大学2002级固体力学专业硕士.

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Ω+∫∫w Rd Г=0　(3. 6) ΩwRd Г

式(3. 5) , (3. 6) 的意义是通过选择待定系数a i , 强迫余量在某种平均意义上等于零,w ,w 称为权函数, 余量的加权积分为零可得到一组方程, 用来求解待定系数a , 进而得到原问题的近似解答. 求解方程(3. 6) 的展开形式为:

Ω+∫Г∫w 1B (Na ) d Г=0, Ωw 1A (Na ) d

Ω+∫Г∫w 2B () d Г=0…Ωw 2A (Na ) d

∫() d Г=0(3. 7) Ωw (Na ) 4Г是域Ω的边界

.

, 常见权函数选择有如下几种:4. 1　配点法:以笛拉克函数δ(Dirac dalta function ) 作为权函数, 对一维问题配点法为:

δ(x -x i ) dx =R (x i ) ∫V Rw i dV =∫V R

(i =1,2,3, …,n )

对于二维问题配点法为:

δ(x -x i ) δ(y -y i ) dxdy∫∫V Rw i dxdy =∫∫V R (x ,y )

=R (x i ,y i ) (i =1,2, …,n )

图1域Ω和边界Г

在求解域Ω中, 若场函数u 为精确解. 则在域Ω中, 任一点都满足微分方程(3. 1) , 同时还在边界Г上任一点都满足边界条件(3. 2) 式. 则等效积分形式(2. 7) , (2. 8) , (2. 9) 必然也严格得到满足, 但对于复杂的实际问题, 这样的精确解往往很难找到, 因此需要我们寻找具有一定精度的近似解.

对于微分方程(3. 1) , 边界条件(3. 2) 所要表达的问题, 未知函数u 可用近似函数来表示, 近似函数为一族带有待定参数的已知函数, 一般形式为:

u =u =6N i a i =Na　(3. 3)

i =1n

配点法的实质就是在n 个点上使其余量为零.

4. 2　子域法:在n 个子域Ωj 内w j =I , 在子域Ωj 以外,w j =0. 实质上强迫余量在n 个子域Ωj 上积分为零.

4. 3　最小二乘法:当近似解取为:u =∑N i a i 时, 权

i =1n

函数w j =

(

A ∑N a ) , 9a j i =1i i

n i =1

n

2

Ω取最此方法的实质是使得I (a i ) =∫N i a i ) d ΩA (∑

小值.

即要求=0(i =1,2, …,n )

9a i

i

4. 4　力矩法:对一维问题有∫V Rx dV =0(i =0,1,2, …,n -1)

i i

对二维问题有∫∫V R (x ,y ) x y dV =0

(i =0,1,2, …,n -1)

此方法的实质是强迫余量的各次矩为零, 通常又称此法为积分法.

4. 5　伽辽金法:是大家比较熟悉的方法, 按加权余

式中a i 为待定参数,N i 称之为试探函数的已知函

数, 它取自于完全函数系列, 是线性独立的所谓的完全函数系列是指任一函数都可用此序列表示, 近似函数通常选择使之满足强制边界条件和连续性要求.

显然, 通常n 取有限项数的情况下近似解是不能满足微分方程(3. 1) 及边界条件(3. 2) , 将产生余量R ,R , 即A (Na ) =R ,B (Na ) =R　(3. 4) 余量R 及R 也称之为残差, 由(2. 7) 式即得近似的等效积分形式:

Ω+∫∫wB (Na ) d Г=0　(3. 5) ΩwA (Na ) d Г

写成余量形式为:50

量法的观点理解, 伽辽金法中的权函数、试函数为取自同一系列的函数. 5　试函数的选择

在加权余量法中, 试函数选择十分重要, 试函数

必须完备, 并且各试函数项之间应该线性无关. 根据使用情况, 试函数大致如下：

（1） 多项式; (2) 三角

张晓哲, 王燕昌:固体力学中的加权余量法简介

级数; (3) 样条函数, 一般为三次或五次样条函数; (4) 梁振动函数; (5) 杆稳定函数; (6) 正交多项式, 如:切比雪夫多项式, 勒让德多项式; (7) 贝塞耳函数; (8) 克雷洛夫函数. 6　算例分析例:一条跨度为l , 受均布载荷作用的梁, 两端均为固定支撑(如图2) , 梁的挠度微分方程为:4EI 4-q =0　(6. 1)

dx

式中E 为弹性模量,I 为梁的惯性矩,w 为挠度. 我们

2. 用配点法消除余量:从(6. 3) 中令余量R I =0即得到与(6. 4) 相同的C 值, 现在我们设另外一种试函

数:

w =C 0+C 1x +C 2x 2+C 3x 3+C 4x 4　(6. 6) 将(6. 6) 代入边界条件和控制方程

得　C 0=C 1=0,C 2=q l 2/24EI ,

C

3=q l /12EI ,C 4=q/24EI

得到与(6. 5) . 用子域法、伽辽, 所以这个解是, , 做法在此不选择挠度试函数为:

w =Cx 2(1-x ) 2(6. 2)　w =0,dw/dx =0. 将(6. 2) 代入(6. 得:　R I =EI 4q =24EIC -q(6. 3)

解:1.用最小二乘法消除余量:l

∫dV =∫v R I 0(24EIC -q ) 24EIdx =0dc

由此得到:C=q/24EI(6. 4) 将(6. 4) 代入(6. 2)

图2两端固支受均布荷载的梁

7　结语

通过理论基础介绍, 实际算例分析可看出, 加权余量法是目前许多流行算法的基础, 深刻理解、领会、掌握加权余量法, 对于固体力学数值计算工作者有着重要意义.

得　w =qx 2(l -x ) 2/24EI　

参考文献:

(6. 5)

[1]邓建中, 刘之行. 计算方法(第2版) [M].西安:西安交通大学出版社,2001.

[2]王勖成, 邵敏. 有限单元法基本原理和数值方法(第2版) [M].北京:清华大学出版社,2002. [3]Z ienkiewicz O C. The Finite E lement Method ,McG raw -Hill Book C o UK,1978. [4]陆明万, 罗学富. 弹性理论基础[M].北京:清华大学出版社,1990. [5]胡海昌. 弹性力学的变分原理及应用[M].北京:科学出版社,1981.

[6]荣延玉. 弹性力学分裂模量变分原理[J].西南交通大学学报,1981, (1) :48-56. [7]殷有泉. 固体力学非线性有限元导论[M].北京:北京大学出版社,1987.

[8]何军毅, 林祥都. 工程结构非线性问题的数值解法[M].北京:国防工业出版社,1988.

Weighted R esidual Method I n Solid Mechanics ZHANG Xiao -zhe 1, WANG Yan -chang 2

(1. 2. Ningxia University ,Y inchuan Ningxia 750021,China )

Abstract :Weighted Residual Method is an im portant numerical method in s olid mechanics. At present , s ome popular numerical method , such as finite element method , meshless , boundary element method , all regard it as the basic. As the result , these methods develop rapidly. This article tries to introduce W. R. M to reader sim plely , including the theory basic and the select of weight function and trial func 2tion. Finally , though numerical exam ples , dem onstrate the use in the engineering practice.

K ey w ords :Weighted residual method ; weight function ; trial function

51

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