2024年考研数学复习：特征值、特征向量

在考研各科目中，很多考生普遍认为数学科目难度大，面临各种各样的问题，包括不知道该如何着手准备，具体怎么规划和练习，有哪些学习方法，怎样提高计算能力等。下面鲁芽考研小编为大家整理了“2024考研数学复习：特征值、特征向量”一文，希望能帮助大家更好的备考。

2024考研数学复习：特征值、特征向量

1.特征值与特征向量的概念

(1)定义：设 为 阶方阵，如果数 和 维非零列向量 满足 ，则称 为 的特征值， 为 的对应于 的特征向量。

(2)特征方程： 称为矩阵 的特征方程， 称为 的特征多项式。

2.特征值与特征向量的计算方法

(1)定义法

(2)特征方程法

①由 求出全部特征值 ( );

②求出每个方程 的基础解系 ( )( );

③线性组合 ( 不同时为0)就是 的对应于 的全部特征向量。

(3)性质法(运用特征值与特征向量的性质)。

3.特征值的性质

(1)和、积性质

① ， 称为 的迹， 是 的全部特征值;

② ;其中 。

注 可逆 ( )

不可逆 0是 的特征值。

(2) 与 有相同的特征值。

(3)若 可逆， 是 的特征值，则 分别有特征值 ，且与 有相同的特征向量。

(4)实对称矩阵的特征值为实数。

(5)若 是 的特征值， 是对应的特征向量，则 是 的特征值， 是其对应的特征向量;特别是， 分别有特征值 和特征向量 。若 的全部特征值为 ，则 的全部特征值为 ，其中 是任意多项式。

4.特征向量的性质

(1)对应于不同特征值的特征向量线性无关;

(2)实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量相互正交;

(3)若 是对应于同一个特征值 的特征向量，则 也是对应于 的特征向量;

注若 是对应于不同特征值 的特征向量，则 必不是特征向量。

(4)若 是 重特征值，则属于 的线性无关的特征向量的个数不超过 个;

(5)若 是实对称矩阵的 重特征值，则属于 的线性无关的特征向量的个数有 个。