证明均值不等式（第二百二十八夜）

2020年快结束了，回顾这一年，真是太难了。

想必，你也不例外。

未来会是什么样子？

也许极其美好，也许极其悲观。

无论哪种，都要相信知识的力量，坚持良知的方向。

直觉告诉我，又在做自己不擅长的事。

笔记越写越少，却又没完没了……

1 围观：一叶障目，抑或胸有成竹

没有悬念，本题是一道条件最值问题，目标是构造均值不等式的使用结构。

均值不等式的应用主要有两个方面：一是利用均值不等式求最值；二是借助均值不等式放缩证明，尤以前者为盛。

2 套路：手足无措，抑或从容不迫

遇见复杂的结构，“换元”是最基本的操作——眼花缭乱瞬间变得一目了然。事实上，绝大多数人都猜到了“1的代换”，只是对如何代换一筹莫展。

均值不等式难就难在构造，有些需要添项，有些需要凑系数，有些需要换元，有些需要多次应用。正是因为其千变万化，才凸显出无穷的魅力。

依旧是换元——三角换元。法2中，三角换元的基础在于同角基本关系式，之后化简又用到了同角基本关系式，就是这么自然，就是这么随心所欲。

三角换元在本题中没有占到便宜，但却很容易想到，尤其是在山穷水尽的时候，不失为救命的稻草。

法3用到了“权方和不等式”（可用柯西不等式推导），较之法1更为干脆。权方和不等式是不错的工具，简单、好记、应用性强，我很喜欢。另外，求最值不要忘了检验取等的条件，有些题会故意在此设置陷阱。

本题还有许多其他解法，不一而足。留白处，是你无穷无尽的思源。

2021，再见。

3 脑洞：浮光掠影，抑或醍醐灌顶

4 操作：形同陌路，抑或一见如故