如何证明三线共点（2021）

引言

2021 年第 62 届 IMO 已经结束，本文分享第三题的详细解答，适合高中学历的读者。

问题

设是锐角三角形内部一点，使得

线段上的点满足

线段上的点满足

且直线上的点满足设 和分别是三角形和三角形的外心。

证明：直线和共点。

分析

要证明三线共点，其中一个思路就是先作出其中两线的交点，再证明这个交点属于第三条直线。

在此题中，都是三角形上的点，为两圆圆心，所以不难想到作出的交点，再证明这个交点属于

考虑到为两圆的其中一个交点，我们很容易联想到两圆的另一交点，要证明在上，只需要证明(引理 5)。此时不难想到利用反演变换，即以为反演中心，为反演幂作反演变换，我们只需证明这是反演变换下的不动点。为此，我们只需要试着找出一对反像，使得它们的一个交点为。

要找出一对反像，我们很自然想到利用某些反演点，从而不难猜到和极有可能互为反演点，而要论证这一点，我们需要论证为与的公切线 (引理 2)，而不难发现，这一点成立的前提是四点共圆 (引理 1)。

在反演变换中，常见的反像要么是圆和圆，要么是圆和直线，要么是直线和直线，而在此题当中，我们注意到出现了一个完全四边形，从而我们很容易将其密克点联系起来，从而我们可以由此构造出很多四点共圆，而结合我们上面要证明的两组反演点，我们又多了一组反演点。

综合这些反演点，我们要构造的一对反像实际上是和，而要成为它们的交点的前提是和四点共圆 (引理 4)，而要证明这一结论，我们需要论证四点共圆 (引理 3）。

下面提供本题的详细解答。

解答

设延长线交延长线于

图一

接下来，我们按步骤，将整道题分成几个引理来一步一步证明在直线上。

引理 1：四点共圆。

图二

证明：如图二，作外接圆，延长交外接圆于作外接圆，外接圆

所以与相切，同理与相切，故对这两圆的幂分别为和，又因为，从而在两圆的根轴上，而为两圆的一个交点，也在两圆根轴上，从而为两圆根轴。不妨设两圆的另一交点为，则也在上。从而

故由圆幂定理知四点共圆。证毕！

引理 2：与外切，为两圆公切线(根轴)。

图三

证明：如图三，设交于

由引理 1，

故四点共圆，从而

所以两圆外切。

注意到为和的根轴，为和的根轴，从而由蒙日定理知，和的根轴必然经过，又因为两圆外切于，从而也在两圆根轴上，从而为两圆公切线(根轴)。证毕！

完全四边形中，由于四点共圆(引理 1)，所以密克点在上，设该点为，设交于

引理 3：四点共圆。

图四

证明：如图四，注意到

从而四点共圆。证毕！

设延长线交于

引理 4：和四点共圆。

图五

证明：如图五，注意到

从而由圆幂定理知四点共圆。

由引理 3 得到的四点共圆，以及刚得到的四点共圆，可知

从而由圆幂定理知四点共圆。证毕！

引理 5：

图六

证明：如图六，由引理 2 可知，

又由于四点共圆，从而

以为反演中心，为反演幂作反演变换，由上面两式知和为两对反演点，从而和互为反像，而注意到为这两个反像的交点，从而是反演变换下的不动点，从而证毕！

由引理 5 的可知，在线段的垂直平分线上，而由引理 4 知是和的两个交点，从而线段是两圆的公共弦，所以是线段的垂直平分线，所以在上。证毕！

分析

本题是本次 IMO 最难的几何题，难度仅次于第二题的不等式，得分率也十分低。本题涉及非常多的平面几何知识点，例如圆幂与根轴，蒙日定理，密克点的性质，反演变换等等，解决此题需要非常熟练的平面几何技巧以及相当敏锐的直觉。