证明面面平行（平行平面）

引子：

空间立体几何题几何法主要分三类：1、求平行关系（线线平行，线面平行和面面平行）；2、求垂直关系（线线垂直、线面垂直，面面垂直）；3、求任意关系（线线角、线面角、面面角）。今天我们运用作已知直线的“平行平面”+或者作已知直线的“相交平面”的方法简捷明快解答空间立体几何线面平行题最迅捷实用。

游戏规则介绍：

平行关系：两个事物没有交点，在空间几何里比如线线平行是指两条直线在同一平面内没有交点（在空间内也可能是异面关系）；线面平行是指一条直线和一个平面没有交点；面面平行是指两个平面没有交点等等。

相交关系：两个事物有交点，在空间几何里比如线线相交是指两条直线有交点形成一个平面；线面相交是指一条直线和一个平面有交点，而且只有一个交点；面面相交是指两个平面有交点，且相交于一条直线等等。

（备注）：表面上看，平行关系和相交关系是相反的，互斥的关系，事实上却是相辅相成，互为依托的。

游戏开始：

小儿垂钓自学始，自得其乐方法来。

第一步：理论分享与证明

1、线面平行，面面平行的性质

线面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（相交平面+平行交线）

理论运用：

过已知做一个平面与已知平面相交，则已知直线与交线平行。

面面平行的性质：

如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。（平行平面+全面性）

理论运用：

若两个平行平行，一个平面所有内直线平行另一个平面。即若能过已知直线作一个平面平行已知平行，则已知直线平行已知平面。

已知：直线A’D’和平面ABCD。

方法：过直线A’D’做一个平面PQA’D’，若平面PQA’D’∥平面ABCD，则直线A’D’∥平面ABCD。（平面PQA’D’里所有直线平行平面ABCD）

下图是平面PQA’D’与平面ABCD相交于180°时的图像（即平面PQA’D’∥平面ABCD）。

平面PQA’D’∥平面ABCD

2、线面平行，面面平行的判定

线面平行的判定定理：

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（平行直线+相交平面）

理论运用：

过已知做一个平面与已知平面相交，交线平行已知直线，则已知直线平行已知平面。

已知：直线A’D’和平面ABCD。

方法：过直线A’D’做一个平面PQA’D’，与已知平面相交于直线A’’D’’；若A’’D’’∥A’D’。则直线A’D’∥平面ABCD。

下图是平面PQA’D’与平面ABCD相交于20°时的图像。

下图是平面PQA’D’与平面ABCD相交于90°时的图像。

下图是平面PQA’D’与平面ABCD相交于150°时的图像。

下图请欣赏：平面PQA’D’与平面ABCD相交于的动态图

解注：

过已知直线做相交平面与已知平面相交，若交线平行已知直线，则该直线与已知平面平行。即A’’D’’∥A’D’。则直线A’D’∥平面ABCD。

面面平行的判定定理

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。

理论运用：

过一个组相交直线（组成相交平面）分别在已知平面内作已知直线的平行直线，则该相交平面平行已知平面。

第二步：高考真题分享

1、【2019全国一文】

如下图，直四棱柱ABCD-A1B11CD1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E、M、N分别是BC、BB1，A1D的中点。

⑴证明：MN∥平面C1DE；

⑵求点C到平面C1DE的距离。

2019年高考数学全国一卷文科立体几何试题

分析：

从已知可知，需要证明MN∥平面C1DE，只有两种方法，要么过MN作相交平面，要么过MN作平行平面。因为过 M、N分别做平面C1DE的平行线不是很方便，且面A1MN与面C1DE有交点D，故考虑过MN作相交平面。

解：

连接A1M且延长，同时延长线段AB交A1M点G，连接DG，则DG是新作平面A1MN与已知平面C1DE的交线。若MN∥DG，则MN∥平面C1DG。

证明：

∵ M是BB1的中点，A1B1∥AB ∴ B是AG的中点。

同理：

∵ B是AG的中点，A1B1∥AB ∴ M是A1G的中点。

∵ N是A1D的中点； ∴ MN是△A1DG的中位线 ∴ MN∥DG

∵ B是AG的中点，BC∥AD，BC=AD ∴ BC与DG的交点是DC的中点

∵ E是DC的中点 ∴ DG通过点E。 ∴ MN∥DE

∴ DE⊆平面C1DE ∴ MN∥平面C1DE

命题得证！

下图请欣赏：过已知直线MN作已知平面C1DE的相交平面A1DG的动态图

过已知直线作相交平面动态图

2、【2016全国三文】

如图,四棱锥 P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC， AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M是线段AD上一点，AM=2MD，N是PC的中点。

⑴证明：MN∥平面PAB；

⑵求四面体N-BCM的体积。

分析：

从已知可知，需要证明MN∥平面PAB，只有两种方法，要么过MN作相交平面，要么过MN作平行平 面。因为过 M、N的平面与平面PAB没有比较容易找的交线，故考虑过MN作平行平面。

解：

过M作MG∥AB交BC于G，连接NG（此时需要证明NG∥PB，或者再作NG’∥PB交BC于G’,证明G与G’重合），此时若平面PAB∥平面MNG，则MN∥平面C1DG。

证明：

∵ MG∥AB 且BC ∥AD ∴ BG=AM

∵ AD=3, AM=2MD ∴ AM=2 ∴ BG=AM=2

∵ BC=4 ∴ G是BC的中点

∵ N是PC的中点 ∴ MG是△PBC的中位线 ∴ NG∥PB

∵ MG∥AB ∴ 平面GMN∥平面PAB

∴ MN⊆平面GMN ∴ MN∥平面PAB

命题得证！

下图请欣赏：过已知直线MN作已知平面PAB的平行平面MNG的动态图

过已知直线作平行平面动态图

第三步：小结

线面平行是一个很重要的概念，通过线面平行能得到线线平行，也能通过线面平行得到面面平行。可以说，线面平行是线线平行与线面平行的纽带。从理论分享和高考真题分享得知，证明线面平行的方法有且仅有两个：过已知直线作已知平面的相交平面或者作已知平面的平行平面，即作“平行平面”+“相交平面”能完美解答线面平行的问题。若过已知直线的平面与已知平面有交点，且交线容易找到，则作已知平面的“相交平面”；反过来，若交线不容易找到，得考虑作“平行平面”。二选一的必选题，希望对神兽们有帮助。

第四步：游戏结束！