射影定理证明（史上最全初中数学相似模型合集解析6）

“ 正相似形在中考中占有极大的比重,它的考法又是千变万化,对于学生来说,既是重点,又是难点.今天讲解的是关于“母子模型及射影定理"的一些基本结论,希望对学生的思维有一定的激发作用,给学生处理问题多一些途径。

06 母子型相似

原理证明：

如图：当∠ABD=∠ACB时，△ABD∽△ACB

则：AB²=AD·AC

典型例题：

如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD．∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4．

（1）求证：△ABD∽△ACB；

（2）求线段CD的长．

【解答】

解：（1）∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A（公共角），

∴△ABD∽△ACB；

（2）由（1）知：△ABD∽△ACB，

∴AD/AB＝AB/AC，

即4/6＝6/4+CD，

∴CD＝5．

同步练习：

如图，∠B＝∠ACD．

（1）求证：△ABC∽△ACD；

（2）如果AC＝6，AD＝4，求DB的长．

【分析】

（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．

（2）利用相似三角形的性质求出AB即可解决问题．

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07 射影定理

原理证明：

如图：CD⊥AB

则△ABC∽△ACD∽△CBD

AC²=AD·AB

BC²=BD·BA

CD²=AD·BD

典型例题：

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．

（1）求证：AC2＝AD•AB；

（2）若AC＝6，AB＝9，求AD的长．

【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ADC＝∠ACB，又∠A＝∠A，

∴△ACD∽△ABC，

∴AC＝AB，即AC2＝AD•AB；

（2）解：由（1）得，AD＝AC²/AB＝4．

同步练习：

如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于D，则△CBD与△ABC的周长比是（　　）

【分析】

由∠A＝30°知AB＝2BC，即BC/AB＝1/2，

再证△BCD∽△BAC可得

C△BCD/C△BAC=BC/AB＝1/2

故选：D．

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