奇函数定积分为0证明（频谱分析）

想要设计控制系统，首先应该从分析控制系统的性能要求出发。

频谱分析是设计和分析系统的一种常用手段，本篇文章将向大家介绍频谱的概念，包括傅里叶级数、傅里叶积分、傅里叶变换以及它们各自的物理意义。

在以后的推送中，将向大家介绍频谱分析的数值方法，还将列举几个实际例子。

频谱的概念

1.傅里叶级数

设一个周期为的周期函数，即满足：若满足狄利克雷(Dirichlet)条件，可用收敛的傅里叶级数表示为

其中

写为更为紧凑的复数形式的傅里叶级数为

其中

为复数，一般写成如下形式

由上式可知与作为互为共轭复数，根据欧拉公式，每组共轭复数可写成

该式表明，复系数的幅值表示第k次谐波的幅值（幅值为），复系数的相角βk表示了该次谐波的相移。这种表示方法称为复数正弦。

傅里叶级数的物理意义：由上述可知，用傅里叶级数表示函数f(t)，即视由各次谐波组成，傅里叶级数的系数表示了各次谐波的幅值和相位，而这些系数的集合称为频谱。

Tips：

1.负频率同样具有意义，当谐波用复数形式表示时，负频率表示了复数正弦的反向旋转

2.谐波次数为整数，用谐波频率同基波频率之比给出，因此频谱不是连续的，而是离散的，故这种频谱有时也称为线谱

3.频谱可以有不同的形式，有时只列出复系数的幅值

例如：绘制周期为T的方波序列的频谱

将方波序列的表达式代入至ck的表达式中，若，，利用欧拉公式可得到，

通过代入计算，各次谐波的ck值如下表所示

k

0

1

2

3

4

5

0

0.63662

0

0.2122

0

0.1273

MATLAB代码如下：

clear，clc
T = 2*pi; % 周期 
omiga = 2*pi/T;
sw = @(n,t) exp(-1i*n*omiga*t).*square(t);
N=20;
Cn = zeros(1,2*N+1); % 计算Cn
for n=-N:N
    Cn(n+N+1) = quad(@(t)sw(n,t),-T/2,T/2,1e-9)/T;
end
n = 0;
c0 = quad(@(t)sw(n,t),-T/2,T/2,1e-9)/T;  % 计算C0
stem((-N:N).*omiga,abs(Cn));
grid on
title('幅值谱');xlabel('\omega');ylabel('|c_n|');

2 傅里叶积分与傅里叶变换

首先对傅里叶积分与傅里叶变换进行推导，推导完毕后将讨论傅里叶积分的物理意义。 着急的同学也可以直接看结论哦~

实际上大多数函数是非周期函数，傅里叶级数无法处理非周期函数，但是可以应用傅里叶变换来处理。将周期函数的周期T看作无穷，即。

傅里叶级数的表达式为

对于上式的第一项，当时，有如下考虑

因此，当f(t)为绝对可积函数，时，第一项趋于零。 设，相邻谐波之间的频率差，当时可以看作为。于是有

上式为关于ω的偶函数，所以可以写为：

此时，再加入一个ω奇函数积分

综上

即

上式即称为傅里叶积分，傅里叶积分还可以写成如下的形式：

式中

F(jω)称为函数f(t)的傅里叶变换。即说明了一个满足满足狄利克雷(Dirichlet)条件的非周期函数若是绝对可积的，就可以展开成傅里叶积分

---

接下来讨论傅里叶积分的物理意义

设，将f作为频率的横坐标，此时傅里叶积分可以变为如下形式

假设是单位面积的窄脉冲，如下图所示，

计算积分可得

该式表明：上面积为1的窄脉冲对应着幅值为1的复数正弦

进一步地，如果将分解为一系列的窄脉冲，每个脉冲的面积为F，那么合成的时间函数f(t)就是这一系列复数正弦的和。

从数学公式的角度可以表示为

当时即为傅里叶积分表达式

因此可以认为：傅里叶积分就是在频域上对信号进行分解，分解为一系列的窄脉冲，傅里叶积分的实质就是将信号看作是由无穷多个谐波所组成。

对于周期函数，傅里叶级数将周期函数分解为无穷多个谐波，而这些谐波的取值是离散的。对于非周期函数，傅里叶积分，谐波之间的频率差为无穷小，即频谱是连续的。

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举个例子，如何用正弦波组成一个近似的方波，下面这张图，让你一次看懂！

图片来源于wiki百科

注释

1.狄利克雷(Dirichlet)条件：

（1）函数在任意有限区间内连续，或只有有限个第一类间断点 （2）在一个周期内，函数有有限个极大值或极小值。 （3）信号在单个周期内绝对可积

2.傅里叶系数求取：对复数形式的傅里叶级数两边同时乘e−j2πnTt，然后从−T/2到T/2积分即可

行数：149

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