连续函数介值定理证明（数学笔记）

本节针对闭区间连续函数的性质

一、最值定理

若 f(x)∈c[a,b], 则f(x)在[a,b]区间内必存在最小值m和最大值M。

二、有界定理

若 f(x)∈c[a,b], 则必定存在N=max{|m|,|M|}，使得f(x)在[a,b]区间内|f(x)|

三、零点定理

若 f(x)∈c[a,b],且f(a)f(b)<0，则必有c∈(a,b)，使得f(x)=0

例1：证明方程 x^5-5x+1=0有一正根

令f(x)=x^5-5x+1 f(x)∈c[0,1]

f(0)=1, f(1)=-3

所以f(0)f(1)<0

由零点定理知必存在c∈(0,1)使得f(c)=0

即方程 x^5-5x+1=0有一正根，并且该正根在[0,1]内

例2：f(x)∈c[0,1], f(0)=0, f(1)=1, 证：存在c∈[0,1]使得f(c)=2/3

令g(x)=f(x)-2/3

g(x)∈c[0,1], g(0)=-2/3, g(1)=1/3

所以g(0)g(1)<0

所以存在c∈[0,1]使得g(c)=0

即f(c)=g(c)+2/3=2/3

所以存在c∈[0,1]使得f(c)=2/3

四、介值定理

若 f(x)∈c[a,b], 则对于所有的η∈[m,M], 存在ξ∈[a,b]， 使得f(ξ)=η

证明方法类似于例2.

五、Notes

1、f(x)∈c[a,b]，存在c∈(a,b)，应该用零点定理

2、f(x)∈c[a,b]，存在c∈[a,b]，且有函数值之和的，用介值定理

3、可以理解为开区间用零点定理，闭区间用介值定理

例3：f(x)∈c[a,b], p>0,q>0, p+q=1

证明：存在c∈[a,b],使得f(c)=pf(a)+qf(b)

m<=f(a)<=M -> pm

m<=f(b)<=M -> qm

(1)+(2) -> (p+q)m<=pf(a)+qf(b)<=(p+q)M

因为p+q=1，所以m<=pf(a)+qf(b)<=M

由介值定理，存在c∈[a,b],使得f(c)∈[m,M]

即存在c∈[a,b]，使得f(c)=pf(a)+qf(b)

例4：f(x)∈c[0,2], f(0)+2f(1)+3f(2)=6

证明：存在c属于[0,2],使得f(c)=1

因为：0,1,2∈[0,2]

所以

m<=f(0)<=M

m<=f(1)<=M -> 2m<=2f(1)<=2M

m<=f(2)<=M -> 3m<=3f(2)<=3M

所以6m<=f(0)+2f(1)+3f(2)<=6M

又因为f(0)+2f(1)+3f(2)=6

所以m<=1<=M

所以1∈[m,M]

由介值定理

对于1∈[m,M], 存在c∈[0,2], 使得f(c)=1

得证！