如何证明周期函数（高中数学）

本章节主要讲述高中数学函数对称性与函数周期性，并举了两个例题进行了分析

（一）函数的对称性

1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称

2、轴对称的等价描述：

（1）若f(a-x)=f(a+x)，则f(x)关于x=a轴对称

（2）若f(a-x)=f(b+x)，则f(x)关于x=(a+b)/2轴对称

3、中心对称的等价描述：

（1）f(a-x)=-f(a+x),则f(x)关于（a,0）中心对称

（2）f(a-x)=-f(b+x)，则f(x)关于（(a+b)/2,0）中心对称

4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：

（1）可利用对称性求得某些点的函数值

（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像

（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称

（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同

（二）函数的周期性

1、定义：设f(x)的定义域为D，若有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)是一个周期函数，称T为f(x)的一个周期

2、函数周期性的判定：

（1）f(x+a)=f(x+b):可得f(x)为周期函数，其周期T=|b-a|

（2）f(x+a)=-f(x)，则f(x)周期T=2a

（3）f(x+a)=1/f(x)，则f(x)的周期T=2a

3、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。

（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值

（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”

（三）典型例题：

例2中f(x)虽然不是周期函数，但函数值关系与周期性类似，可理解为：间隔2个单位的自变量，函数值呈2倍关系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向已知范围进行靠拢。