博弈论经典案例（从博弈论的角度）

楚汉战争，是发生在汉元年（公元前206年）八月，至汉五年（公元前202年）十二月之间，西楚霸王项羽与汉王刘邦两大军事集团之间，为争夺政权而进行的一场大规模战争。

楚汉战争演变为中国象棋

那么我们从博弈论的角度来看看，项羽和刘邦两大军事集团之间战争的得失。

博弈论示例

博弈论，是研究具有斗争或竞争性质的数学理论和方法。通俗的讲，就是竞争双方采用不同的策略或方法，以获得更有利于自己的结果。

最著名的博弈论例子，就是战国时期，齐国将军田忌与齐国公子之间的赛马比赛，史称“田忌赛马”，马有上、中、下三等，孙膑告诉田忌，先用自己的下等马对付齐国公子的上等马，这一局会输，然后用自己的上等马对付齐国公子的中等马，这一局肯定赢，然后再用自己的中等马，对付齐国公子的下等马，又赢。这样三局两胜，最终获胜，赢得千金。

田忌赛马博弈矩阵

那我们用博弈论来看看楚汉战争不同阶段，刘邦的战略选择。

楚汉战争第一阶段

项羽攻进咸阳，烧了秦宫，杀了秦三世子婴以后，开始分封诸侯，刘邦被封为汉中王，也就占地30%左右，其余70%为项羽及所分封的诸侯王占据。

项羽因为统领诸侯军40万，实力强劲，而刘邦此时实力较弱，拥兵不足10万，不足以与项羽所抗衡，但项羽撤出关中以后，刘邦就开始考虑是否值得一搏。

根据博弈论模型，可以看出，刘邦如果选择和平，则只能占据30%的土地，但如果选择战争，则至少能获得50%的封地，至于战争最后结果，还未可知，但是关中至少有函谷关天险可守。所以战争是刘邦这一阶段的最优选项。因此，刘邦选择出兵。

楚汉战争第一阶段博弈模型

楚汉战争第二阶段

当刘邦平定关中之后，有函谷关天险可守，就开始考虑图谋天下，而此时项羽正在东方平定诸侯，特别是齐国叛乱。而此时的博弈模型如下：

楚汉战争第二阶段博弈模型

由此可见，如果刘邦选择和平，则至少可以占据关中；而选择战争，则可以再获得20%左右土地，甚至可以打败项羽，称霸天下。所以刘邦选择继续进攻。

楚汉战争第三阶段格局

自刘邦选择进攻，开始东进以后，他的地盘及势力版图就在不断扩张，兵力及资源也在增加，从博弈论的角度来讲，后面即使打败了，也不吃亏。此一阶段的博弈论模型和第二阶段基本一致，只是说最后取得战果多与少的问题。

楚汉战争第三阶段博弈模型

咱们看看刘邦后面几仗的大致情况，看刘邦如何一步步扩大战果的。

1、彭城之战

汉二年（公元前205年）四月，刘邦进至洛阳，以项羽杀害义帝为借口，令三军发丧，缟素三日，联络各地诸侯王，趁项羽滞留在齐国时，渡过临晋关，至河内，纠集塞、翟、魏、赵、殷五国诸侯联军56万，兵分两路攻楚，击败楚将程处、王武。

彭越率三万人归附刘邦，刘邦封彭越为魏相国，攻打梁地，派樊哙北上攻打邹县、鲁县、薛县、瑕丘，以阻止项羽从齐国南下，向东攻打下邑、派吕泽驻守。与北路军曹参、灌婴会合，进攻砀县、萧县，攻取彭城。

彭城之战

项羽得知后，留众部将继续击齐，自率精兵3万疾驰南下，先击败驻守在鲁县的樊哙，当时刘邦等众诸侯已进入彭城，收其财宝美人，摆宴喝酒。

项羽乘刘邦陶醉于胜利，戒备松懈之际，率军绕至彭城西，于清晨时发动突然袭击，驻守在下邑的汉将吕泽，还没来得及作出反应，就被项羽攻入彭城，刘邦不得不仓皇撤出彭城，楚军大败汉军，汉军往泗水方向溃逃，楚军紧追不舍，杀汉军十余万人，濉水为之不流。刘邦急率残部先在砀县整顿，然后向西与吕泽会合。

2、京索之战

汉二年（公元前205年）六月，刘邦回到关中，汉军水攻废丘，雍王章邯在抵抗了十个月兵败自杀，至此三秦悉为汉有。刘邦收关中士卒回到荥阳。

京索之战

随何劝降九江王英布，英布叛楚，项羽派龙且、项声攻打英布。项羽亲自进攻下邑，继续向西进攻，至荥阳，刘邦拜灌婴为中大夫，统率骑兵，在荥阳以东大败项羽，又在京县、索亭之间击败楚军，将项羽楚军击退到荥阳以东。

京索之战后，汉军稳住阵脚，楚军也无力突破汉军防线进攻关中。双方从此开始在荥、成一带拉锯，战争进入相持阶段。

3、灌婴击楚

汉四年（公元前203年）二月，韩信自立为齐王，项羽为了避免被汉军三面包围，派武涉赴齐国，游说韩信，劝他发兵助楚，攻打刘邦，但齐国的汉将都是刘邦的亲信，韩信以“汉王刘邦待他甚厚，不忍背叛”为由拒绝了武涉的请求。

韩信命令御史大夫灌婴离开齐国，率汉骑南下，首先进攻楚国的鲁地，大破楚将薛公杲于鲁北。南下再破薛郡长，攻博阳，进军至下相，夺取取虑、僮、徐等县。接着渡过淮河，进至广陵（今江苏扬州），尽降楚国城邑。

灌英击楚

项羽急忙派项声、薛公、郯公夺回淮北。灌婴北渡淮河，在下邳大破项声、郯公军，将薛公斩首，夺取下邳。接着追击楚军，破楚军于平阳，回师攻占彭城，俘虏楚柱国项佗，降服留、薛、沛、酂、萧、相等县。攻苦、谯，再次俘获亚将周兰。

4、鸿沟议和

汉四年（公元前203年）八月，楚军粮尽，项羽被迫议和，刘邦亦未能调来韩信、彭越援军，于是双方订立和约“中分天下”，划鸿沟为界，东归楚、西属汉。

鸿沟议和

楚汉两军在荥阳、成皋一线相持两年零五个月后，休兵罢战。和约定立后，刘邦派使者至楚营请求放还刘邦家属，但都一一遭到拒绝。后来侯生往楚，成功说服项羽放还刘邦家人。刘邦拜侯生为“平国君”。

5、垓下之战

刘邦听张良、陈平的建议，趁楚军锐气消磨殆尽，在项羽退兵路上发起追击。彭越趁项羽向南，撤退到阳夏之机，攻克昌邑旁二十多个城邑，缴获谷物十多万斛，用作汉王的军粮。

刘邦趁机率军发起追击，于汉五年十月击败项羽。刘邦率领汉军追击项羽至固陵，另派刘贾南渡淮水包围寿春，派人寻找机会招降楚大司马周殷，随后合军北上进攻城父。

垓下之战

刘邦也由固陵东进，形势对楚极为不利，项羽被迫向东南撤退。十一月，项羽退至垓下，筑垒安营，整顿部队，恢复军力，此时楚军尚有约十万人。

韩信、彭越、英布等会合刘邦后，于公元前202年十二月，在垓下将向江南撤退的十万楚军层层包围。

汉军以韩信亲率三十万人为主力，孔将军为左翼，费将军为右翼，刘邦坐镇后方，周勃、柴武等预备军在刘邦军后待命。韩信率汉军向前推进，在不利的情况下开始向后后撤，而由两翼向前推进，楚军受挫，韩信率军向前推进大败楚军于垓下。

垓下之战

6、四面楚歌

汉军包围楚军以后，夜间高唱楚歌，楚军以为汉已尽得楚地，乃士气崩溃。项羽眼见大势已去，便乘夜率领八百精锐骑兵突围南逃。天明以后，汉军得知项羽突围，于是派遣五千骑兵追击。

项羽渡过淮水后，仅剩百余骑相随，行至阴陵，因迷路耽搁了时间，被汉军追及，项羽突至东城，手下仅剩二十八骑。

项羽指挥这二十八骑，来回冲阵，再次杀开一条血路，向南疾走，至乌江边，自觉无颜面见江东父老，乃令从骑皆下马，以短兵器与汉兵搏杀，项羽一人杀汉军数百人，自己身亦被十余创，最后自刎而死，年31岁。

乌江自刎

项羽死后，汉军全歼八万楚军，楚地皆降汉，独项羽原封地的鲁人不肯投降，后刘邦将项羽首级示鲁，鲁人乃降。至此，历时4年半之久的楚汉战争，最终以刘邦的胜利而告终。

结语

从博弈论的角度来看，自楚汉战争第二阶段以来，就预示着刘邦的胜利，即使不胜，也能和项羽平分天下，甚至占据70%的版图，至于项羽，只会越来越被动。而最终的结果，以汉军刘邦大获全胜而告终，说明刘邦选择战争，取得了楚汉战争的最大收益！

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