拉格朗日中值定理证明不等式（见招拆招）

（更正版）

此题是难得的好题，难在第二，三问，第二问求导，令导函数等于零，分子部分是一个一元四次方程，解一元四次方程，高中阶段没学过，但我们可以尝试代入一些特殊值（此题我想到的是1，那你也可以试试负1，为什么？因为是四次方程，可能有对称，(^一^)），检验一下是否是方程的解。如果能找到一些方程的解，那就能降次，由一元四次，降为一元三次或一元二次，这样就好解决了；再用待定系数法将降次以后的一元三次、一元二次的各系数分别求出来，接下来就轻松了。或者你直接提取“公因式”，不必像我这样这么麻烦

本题最难的是第三问，原函数f（x）里面有个InX，这是一个提醒，常用的技巧是构造函数与其比较，从而达到放缩的目的。比如，InX

但此题没那么简单，如何才能有效，有目的的不等式放缩？有人说，用大学的基础知识，麦克劳林级数:

你可以试试，一般高中阶段用到X^3以下，已经够难的了，见图。

我也尝试了，但我解决不了。还是用大学《数学分析》里的“拉格朗日中值定理”？你也可以试试，但那是大学的解法。

怎办？

这是我在证明过程中遇到的困难，③式这里，不等号左边一个k，右边一个k，能否通过变换，使In（X1/X2）消失，然后左右两个K也同时约掉！剩下1/2*（X1一X2）^2，大于零，那是必须的( •͈ᴗ⁃͈)ᓂ- - -♡

好，怎样构造一个函数，能够大于 In（X1/X2），并且使不等式左右两边的K可以全部约掉？你试试，发挥你的想像空间:

这是我在草稿纸上的推演构造，下面剩下的就是证:

其中t＝（X1/X2），大于1，你可以自己动手试试证。

但后面检查的时候发现上述仅对K非负时适用，当K是负数时还需讨论，并且没那么简单，于是开始更正:

以下是补充证明，当K为负数时，又是构造函数证不等式:

这才证毕！

（t>1）这个不等式不是常用的，希望你也能“见招拆招”，为了达到目的，大胆的构造函数与需要放缩的函数进行有效的比较，从而证毕！

这是原题标准答案:

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