同弧所对的圆周角相等证明（九年级数学丨圆周角定理的证明）

圆周角定理：

一.定理内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等或互补。

二.定理证明

已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.

证明：

情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：

∵OA、OC是半径

图1

解：∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

情况2：如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：

连接AO，并延长AO交⊙O于D∵OA、OB、OC是半径

图2

解：∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC

情况3：如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。

图3

解：∵OA、OB、OC、是半径

∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）

∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）

∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）

∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

圆心角等于180度的情况呢？

看情况1的图，圆心角∠AOB=180度，圆周角是∠ACB，

显然因为∠OCA=∠OAC

=∠BOC/2∠OCB=∠OBC=∠AOC/2

所以∠OCA+∠OCB

=（∠BOC+∠AOC）/2=90度

所以2∠ACB=∠AOB

圆心角大于180度的情况呢？

看情况3的图，圆心角是（360度-∠AOB），圆周角是∠ACB，

只要延长AO交圆于点D，由圆心角等于180度的情况可知∠ACD=∠ABD=90度

根据情况3同理可证：∠BOC=2∠BAC=2∠BDC

根据情况1和情况3同理可证：∠AOC=2∠ADC=2∠ABC

所以∠ACB+∠ADB=∠ACB+∠ADC+∠BDC

=∠ACB+∠ABC+∠BAC=180度

即∠ACB=180度-∠ADB

由情况2可知：∠AOB=2∠ADB

所以360度-∠AOB=2（180度-∠ADB）=2∠ACB

定理推论

1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。

2.半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

3.圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角