证明矩形的方法（矩形中的命题证明）

命题证明已经逐渐进入中考，今天我们来看下矩形这个章节中几个常见的命题证明，希望孩子们也能自己认真书写一遍，特别是格式规范。

首先我们来看下第一题，原题如下：

证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

注意命题证明有严格的规范，先画图，根据图形书写已知和求证，然后才是证明的过程，首先我们画图和书写已知及求证，如下图所示

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线。

求证：CD=1/2AB

接下来我们提供三种不同的证明方法供孩子们参考。

方法1：利用矩形的性质

证明：如图，延长CD至点E，使得DC=DE，连接AE,BE

∵点D是AB中点

∴DA=DB

∵DC=DE,DA=DB

∴四边形ABCE是平行四边形

∵∠ACB=90°

∴四边形ABCD是矩形

∴AB=CE

∵CD=1/2CE

∴CD=1/2AB

方法2：重合法

如图，在∠ACB中∠BCE=∠B，CE与AB相交于点E

∵∠BCE=∠B

∴EC=EB

∵∠BCE+∠ACE=90°

∴∠B+∠ACE=90°

又∵∠A+∠B=90°

∴∠ACE=∠A

∴EA=EC

∴EA=EB=EC

即CE是斜边AB上的中线，即CE=1/2AB

又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合。

∴CD=1/2AB

方法3：全等法

延长CD到E，使DE=CD，连接AE，

∵CD是斜边AB的中线，

∴BD=AD，

∵∠CDB=∠EDA，CD=DE，

∴△CDB≌△EDA（SAS），

∴CB=AE，∠B=∠DAE，

∴CB∥AE，

∴∠BCA+∠ACE=180°，

∵∠ACB=90°，

∴∠CAE=90°，

∵CB=AE，∠BCA=∠EAC=90°，AC=CA

∴△ABC≌△CEA（SAS），

∴AB=CE

∵CE=2CD

∴CD=1/2AB

接下来我们来看下第二题，来自时代中学2021-2022年期中考试卷真题：

已知三角形一条边上的中线等于这条边的一半，证明这个三角形是直角三角形．

同样需要先画图和书写严格的已知和求证，再依据图形和相对应的条件来求证。

已知：如图，△ABC中，点D是AB的中点，连接CD，且CD=1/2AB

求证：△ABC是直角三角形。

本题只需要结合三角形内角和和等腰三角形的性质即可解决，证明方法如下：

证明：由条件可知，AD=BD=CD则∠A=∠DCA，∠B=∠DCB又∵∠A+∠DCA+∠B+∠DCB=180°∴∠DCA+∠DCB=90°即∠ACB=90°∴△ABC为直角三角形

前面两题主要考察的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，接下来请孩子们自己回去思考下如何证明下面三个命题：

命题1: 在直角三角形中，有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

命题2：直角三角形中，如果有一直角边等于斜边的一半，那么该直角边所对的角是30°

命题3：求证：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

其中命题来自教材，证明过程略过，我们来看下命题2的书写过程。

直角三角形中，如果有一直角边等于斜边的一半，那么该直角边所对的角是30°。

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=1/2AB，

求证：∠B=30°．

证明：作Rt△ABC的斜边上的中线CD，如图所示：

则CD=1/2AB=AD，

∵AC=1/2AB，

∴AC=CD=AD，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠A=60°

∴∠B=90°-∠A=30°；

最后我们来看下命题3的书写过程：

求证：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．

求证：DE=1/2BC，DE∥BC，

证明：延长DE到F，使得DE=EF，连接CF，

∵E是AC的中点，

∴AE=EC，

在△ADE和△CFE中，

AE＝CE，∠AED＝∠CEF，DE＝FE

∴△ADE≌△CFE（SAS），

∴∠ADE=∠F，AD=FC，

∴AB∥CF，

∴DB∥BF，

∵D是AB的中点，

∴AD=DB，

∴DB=CF．

∵DB∥BF，

∴四边形DBCF为平行四边形，

∴BC=DF，DF∥BC，

∵DE=EF，∴DE=1/2DF．

∵DF∥BC，BC=DF，

∴DE∥BC，DE=1/2BC．

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本文作者：果爸，典型的闽南人，大学毕业后不务正业进入培训圈，从事一线教学和教研工作，创过业带过团队，现在二次创业中，有兴趣的朋友可以多多关注！本文首发于幼儿数学思维，转载请联系原作者。

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