证明三角形全等的方法（初中数学全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法）

全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等。

三角形辅助线做法

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：

遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题

2.倍长中线：

倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3.角平分线在三种添辅助线

4.垂直平分线联结线段两端

5.用“截长法”或“补短法”：

遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长。

6.图形补全法：

有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形

7.角度数为30、60度的作垂线法：

遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：

遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：

最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．

遇到角平分线在三种添辅助线的方法，

（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”截长法与补短法，具体做法是：在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题

目．

已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，作出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

一、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

应用：

1、（崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．

（1）如图① 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；

（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

二、截长补短

1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC

2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC。

3、如图，已知在△ABC内，∠BAC=60°，∠C=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分∠ABC，

求证：∠A+∠C=180°

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

应用：

三、平移变换

例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为PB，△EBC周长记为.求证PB＞PA.

例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.

应用：

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

五、旋转

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

例2 D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1）当绕点D转动时，求证DE=DF。

（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。

例3 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点做一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 ；

应用：

1、已知四边形中ABCD，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕点B旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．

当∠MBN绕点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF．

当∠MBN绕点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

3、在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ；此时Q/L= ；

（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，

若AN=x，则Q= （用x、L表示）．