高数集合对偶律证明（刘蒋巍）

高中数学构造法解题技巧

文/刘蒋巍

01 构造函数

函数是高中数学中一个重要的概念，函数的观点和方法贯穿整个高中数学内容，在问题解决过程中，有些难于解决的问题，往往可转化为用函数的方法去解决。

在实际问题中，求变量取值范围、证明不等式、求最值、求值以及证明等式等问题，可根据问题的特点，已知条件（结论）的结构形式，合理地构建与之相关的函数，然后运用函数的概念、性质巧妙地去解决问题。

可以构造一次函数解题、构造二次函数解题、构造高次函数解题、构造分式函数解题、构造指数函数解题、构造对数函数解题、构造超越函数解题、构造三角函数解题、构造二项式函数解题、构造数列型函数解题、构造可求导型函数解题。

构造函数解题，你需要思考：（1）已知条件（结论）的结构特征与函数选择有什么关系？新奇解法会给你带来哪些启迪？（2）运用了函数的哪些性质？

02 构造方程

方程是我们解决数学问题中遇到的一个基本的数学概念。除直接解方程完成数学问题之外，一些数学问题常常要转化为方程来解决。

在实际问题中，通过构造方程可解决求值、取值范围、证明等式（不等式）及求最值等一系列问题，其间涉及根与系数关系、方程的性质、函数的性质及不等式性质，充分展示了在转化过程中方程观点的应用。

可以构造一次方程解题、构造二次方程解题、构造高次方程解题、构造函数方程解题、构造指数方程解题、构造齐次方程解题、构造含参方程解题。

从实际问题出发用构造方程的方式，可巧妙地解决相关的问题，你不妨从转化方式的特点思考以下问题：（1）构造方程从哪些方面做起？对于多变量的问题如何选择主变元？（2）构造方程后常用到哪些性质？

03 构造数列

数列是定义在正整数集合的函数，是按顺序排列的一列数。通过研究两项之间关系、数列的和式，运用类比，迁移的方法，可以巧妙地解决许多问题。

在实际问题中，从形式结构等特点可选择构造数列解决解方程、求值、化简、证明以及求轨道等问题，其间运用了数列的概念，逆用等差数列、等比数列及数列求和等性质合理地解决了一些比较难的数学问题。

可以构造等差数列解题、构造等比数列解题、构造等比数列之和解题、构造数列证明不等式解题、构造常数数列证题。

通过构造数列智慧地解决一些数学问题，其解法简捷，构思精巧，你不妨从思维及转化策略上思考以下问题：（1）构造数列与构造函数（方程）有什么异同点？（2）构造数列主要运用正向思维还是逆向思维？

04 构造向量

向量具有数与形的特性。非常便于与其他的数学分支建立联系，被人们称为数形结合的典范，因此，向量在问题解决中有着广泛的应用。

在实际问题中，只要认真细致地观察问题的结构特征，就会很快发现与之对应的向量形式。构造向量可以解决求值（最值）、比较大小、证明等式（不等式），求参数范围，解方程及求轨迹等。

通过构造向量，运用向量的加（减）法，向量的数量积可解决许多的数学问题，你不妨从中思考以下问题：（1）在选择构造向量解决问题过程中，先考虑数的特点，还是先考虑形的特点？（2）构造向量时常用逆向思维进行形式转化，你的逆向思维能力有什么提高？

05 构造解析几何模型

解析几何模型是一种代数化的形式，一般是将数学问题所呈现的几何特征代数化，具有简捷、便于操作的特性，在处理代数和几何问题中有着广泛的应用。

在实际问题中，通过分析、观察和试验，合理地将所研究的问题转化为几何模型问题。可以巧妙地解决求值、证明等式（不等式）、求最值、求参数范围、比较大小、解方程和求轨迹方程等。

通过构造解析几何模型，运用距离公式、斜率公式、点到直线距离公式，直线方程以及圆锥曲线方程可巧妙地解决许多数学问题，你不妨从中思考以下问题：（1）在构造解析几何模型过程中，怎样联想相应模型的？（2）选择模型的试验过程中，你有何收获？

06 构造几何图形

几何图形是解决代数问题和几何问题常常选择的一种辅助模型，通过构建图形，将所研究问题的特征与图形有机地联系起来，达到解决问题的目的。

在实际问题中，许多代数形式具有几何图形的特征；许多几何问题通过构建辅助图形变为规则的几何图形之后，可以巧妙地解决这些问题，使所构想的图形更是有操作性，构造图形可以运用于求值，证明等式（或不等式），求最值以及求几何量等。

通过构造几何图形，运用几何图形的特性、性质和公式，可巧妙地解决诸多数学问题，解法新颖独特，你不妨从中思考以下问题：（1）构造几何图形解决代数问题时遇到的困难是什么？（2）构造几何图形解决几何问题时，规则图形的选择遵循哪些原则？

07 构造排列组合和概率模型

在问题解决过程中，由于元素的变化方式多种多样，而且分类讨论又比较繁琐，往往通过构造排列组合的模型方式去解决。此外一些数学问题呈现一种“概率”的形式，我们也常用概率的模型化方式去解决.

在实际问题中，有些问题解决比较困难，不是没有思路，就是不便于操作，此时不妨选择构造排列、组合和概率的模型去解决.用这种方法可以快捷地解决排列、组合和概率中的难题、证明不等式、证明组合恒等式、求最值和解方程（组）等问题.

通过构造排列、组合和概率模型，运用插入法、隔板法、小球投盒、互斥事件模型、相互独立事件模型、分布列模型以及方差模型等，可巧妙地解决一系列典型的问题，其转化方式非常精巧、灵活，你不妨从中思考以下问题：（1）在构造排列、组合和概率模型中，所采用的求解方式与常规的操作方式有何区别？（2）从构造排列组合和概率模型的方式中，你如何理解整体结构形式与部分之间的关系的？

08 构造模型

模型的意义极为广泛，涉及数学的各个分支和各个方面.通过构造模型所能够解决的问题也是丰富多彩的。在问题解决过程中，如果涉及的问题的抽象程度比较高，方法选择比较困难的时候，往往选择构造模型。同时，一些问题比较明确，方法选择也比较容易，但我们也常用模型化的方法验证（或证明），使问题变得形象直观。

在实际问题中，通过联想模型化的数学对象，可以解决求值、化简、证明、解不等式及讨论数学性质等问题。

通过构造模型，运用相关模型所具有的性质和规律，可巧妙地解决许多数学问题.有些方法对于启迪我们的思维具有极为重要的作用，你不妨从中思考以下问题：（1）构造模型与其他构造方式相比，思维跨度是不是更大些？（2）构造模型对你的抽象思维能力的发展，创新精神的培养有哪些方面的指导意义？

09构造对偶式

在解决某些数学问题时，针对其中已知式M的结构特征，构造一个或几个与之相关联的式子N，使M与N经过M＋N，M—N，MN，M/N等运算之后，使所研究的问题实现合理的转化和解决，所构造相关联的式子N叫M的对偶式。

在实际问题中，通过构造对偶式，可以巧妙地解决求值、证明、求最值、解方程（组）以及求解析式等。

通过构造对偶式，运用它们之间的相互关系解题，可拓展解题思路，更进一步体现构造所带来的数学美感，你不妨从中思考以下问题：（1）通过构造对偶式解题，阐述其中所蕴涵的数学美有哪些？（2）通过构造对偶式解题，对于激发你的兴趣，调动学习的积极性和主动性，探索数学解题规律有哪些方面的帮助？

作者简介

刘蒋巍，代表作品《2018年自主招生模拟试题及解答》、《高中联赛经典题讲解(江苏预赛) 》、《抽屉原理——江苏高中数学复赛系列课程》、《数学压轴题的特征、破解之道及训练方法》、《命题人讲座：高考题是怎么出的(导数)》、《命题人讲座：高考题是怎么出的(圆锥曲线) 》、《高考题数学是怎么出的——以三角、向量为例》、《高等数学背景下的高考数学命题研究》、《高考数学题出题背景——数列的子列问题》、

《新高考数学极值点偏移压轴题出题背景及命题推广 》、《2021高三八省联考数学卷的导向性分析及数学关键能力的培养》、《新高考：以幂级数为背景的高考题》、《江苏高考数学真题讲析 》、《上海11年高考数学命题趋势研究(2010~2020)》、《2018年江苏高考数学命题的核心素养分析》、《2017年江苏高考数学分析报告》、《2016江苏高考数学填空题的命制、改编及解法探究》、《一道高中数学联赛模拟题的命制与解析》、

《2021年南京师范大学转专业考试仿真练习(命题人：刘蒋巍)》、《高等数学<函数与极限、导数的概念>测试(命题人：刘蒋巍) 》、《一道考研数学题的源与流》、《一道考研数学题的命题研究》、《一道积分不等式的命题研究——演绎深化,逆推生成》等300余部。