调和级数发散证明（玩数学）

2025-08-10 11:09:01 阅读 111 评论 0

摘要：肯普纳级数来源于调和级数。所以，先介绍一下调和级数：不收敛的调和级数调和级数（Harmonic Series）：即所有自然数的倒数之和。读本科的时候，我曾经一度困惑于如何证明该级数发散。现在知道证明该级数发散的方法很多。这里挑俩我比较喜欢的方法：缩放法具体思路如下：该方

肯普纳级数来源于调和级数。所以，先介绍一下调和级数：

不收敛的调和级数

调和级数（Harmonic Series）：

即所有自然数的倒数之和。

读本科的时候，我曾经一度困惑于如何证明该级数发散。现在知道证明该级数发散的方法很多。这里挑俩我比较喜欢的方法：

缩放法

具体思路如下：

该方法只用了初等数学的知识。

暇积分方法

则图中直方图的面积之和即为调和级数。而这些直方图的面积之和大于相应区间内曲线下的面积，而曲线下的面积可以用积分公式求得：

这个方法非常精妙，但要用到高等数学微积分相关知识。

收敛的肯普纳级数（Kempner Series）

肯普纳级数由调和级数衍生而来。所有自然数中，去掉含数字9的自然数（如9,19,29,...），剩下的自然数的倒数之和即为肯普纳级数。

肯普纳级数

该级数最先由德国数学家在1914年进行了研究。

肯普纳级数是反直觉的（counterintuitive），因为它是收敛的，而他的源级数调和级数则是收敛的。

肯普纳证明了该级数小于80，Baillie求得精确到小数点后20位的级数值：22.92067661926415034816。

同样的道理，人们发现，去掉含"42"的自然数之后的所有自然数的倒数之和约等于228.44630415923081325415；去掉"314159"的所有自然数2302582.33386378260789202376。

那么如何证明肯普纳级数是收敛的呢？很多人给出了证明，如Hardy（哈代，发掘了印度数学天才拉马努金的人）。他的大致思路是这样的：

一位自然数中，不含'9'的数有8个：1,2,3,4,5,6,7,8。这8个数字都大于等于1，故它们的倒数之和小于8*1=8；

二位自然数中，不含'9'的数有8*9=72个（10位数为1-8，个位数为0-8）。这72个数字都大于10，故其倒数之和小于72*1/10=7.1;

三位自然数中，不含'9'的数有8*9*9=648个（百位数为1-8，十位数为0-8，个位数为0-8）。这648个数字之和都大于大于100，故72个数之和小于648*1/100=6.48;

以此类推，N位自然数中，不含'9'的数有8*9^(N-1)个，且都大于等于10^(N-1)，故它们的倒数之和小于8*9^(N-1)*1/10^(N-1)。

进而，可以求出所有不含'9'的自然数的倒数之和小于

所以，肯普纳级数是收敛的。

要准确计算肯普纳级数的值比较困难。不过，数学家们给出了一个近似值公式：10^nln10，其中n为排除的数据的位数。如对肯普纳级数，n=1，此时其近似值为10ln10=23.025850929940456840179914546843642076011014886287729760333279009...，与前面提供的值还是比较接近的。