有界性定理证明（圆周率π取3）

豆包在圆周率π取3.14，我们可以接受吗？（三）中，通过对正多边形周长的讨论，得到了一个结论。

如果我们接受圆周率π取3.14，那么我们也至少接受了圆的周长取内接正57边形的周长。

这次，我们将讨论正多边形的面积。

在圆周率π取3.14，我们可以接受吗？（二）中，我们给出了刘徽的割圆术。

在圆内做一个内接正多边形。内接正多边形的边数越多，它的面积越接近圆的面积。

豆包决定给大家解释一下这个结论。

画一个圆，半径为r。在圆内做一个内接正n边形（n≥3，n为正整数），紫色部分三角形的面积为S。

圆的面积S0：

紫色部分三角形的面积S：

内接正n边形的面积Sn：

接下来，我们要证明一个极限。

单调有界定理：单调有界数列必有极限。

根据高数里面的单调有界定理，应该先证明极限存在，然后再证明极限的值等于某一个数。

由于过程繁琐，豆包在这里就不证明极限存在了（有兴趣的伙伴可以参考圆周率π取3.14，我们可以接受吗？（二）），只证明极限值等于π。

现在，我们证明了这个结论：在圆内做一个内接正多边形。内接正多边形的边数越多，它的面积越接近圆的面积。

大家仔细观察一下下面两个式子。

正多边形面积函数

当半径r=1时，我们做出正多边形面积函数的图像。

我们接下来要解这个方程。

豆包认为这类方程大多需要依靠强大的解方程的计算器才能求解。这里只给出结果。

结果：n是一个在113到114之间的数。

因此，当n大于等于114时，我们可以接受正多边形的面积等于圆的面积。

换言之，如果我们接受圆周率π取3.14，那么我们也至少接受了圆的面积取内接正114边形的面积。

π和3.14的相对误差我们都接受了，比它更小的相对误差我们为什么不能接受呢？