四点共圆的性质及证明（中考数学）

这是我们中考系列的第五节——共圆点！

共圆也是平面几何的一类重要问题,因为圆上的等角关系特多,所以在各类问题中,若发现并证实有四点或四点以上的共圆关系,那就为我们提供了角度转化的场所,当然,也有线段相等(等弧对等弦……),乘积相等……种种关系供我们利用.因此,共圆常是我们证明过程的媒介。

除了常见的四点共圆,还有一些奇妙的多点共圆,作为名题广为流传，如本节将要介绍的九点共圆

基路

(1)视角的相等与互补

在线段同侧的各点,若对线段的视角相等,则它们与线段的二月在一个圆上;

在线段异侧的两点,若对此线两端的视角互补,则它们与线段二端四点共圆,这一思路又常表述为：四边形的对角互补,则此四点共圆,或等价的四边形的外角等于它邻角的对角。

特别的,不管同侧异侧,对线段的视角都是直角,则它们皆在以该线段为直径的圆上。

(2)圆幂定理之逆

(3)证多点共圆,先定出中心,证这些点到中心的距离等于定值,或定出直径,证各视角皆为直角。

证法举例

例1、A、B、C为直线l上的三点,O为l外的一点，O1、O2、O3分别为△AOB、△BOC、△AOC的外接圆圆心点。

求证：O、O1、O2和O3四点共圆。

分析：本题虽说可有不同的证法,但主要还是就四边形计算角的相等或互补,抓住连心线垂直平分公共弦,和有关圆的等角性质,则证明十分简捷。

证：证外角=邻角的对角，角的符号如图1

图1

有

例2、三角形三边的中点,三高之足,垂心与各顶点所连线段的中点,这九点共圆,并称之为原三角形的九点圆。

分析：本例虽说共圆的点多,但容易定出直径和圆心,故也不难证出。

证：利用直径对直角

设L、M、N为各边的中点;D、E、F为各高之足,H是垂心,1、J、K分别为AH、BH、CH的中点,如图2所示,

图2

则有

小科普

注:在几何学中,九点圆问题是一道名题,三角形中这么多占特殊位置的点共圆,确属一个美妙的图形,所以诞生之后备受人们的青睐,最先发现这九点圆乃属英国的亚敏俾(Benjamin Bevan),发表在1804年的一本英国杂志上,第一个给出完全证明的是英国的邦色南(J.V. Poncelet),发表于1821年,欧拉与费尔巴哈(Feuerbach)都曾研究过这九点圆,故也称它为欧拉圆或费尔巴哈圆。