怎么证明三线共点（各种错综复杂的位置关系）

考纲原文

理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.

·公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.

·公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

·公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

·公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

·定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.

知识点详解

一、平面的基本性质及应用

1．平面的基本性质

二、空间两直线的位置关系

1．空间两直线位置关系的分类

空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：

（1）从有无公共点的角度分类：

【注意】异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

2．异面直线所成的角

（1）异面直线所成角的定义

（3）两条异面直线垂直的定义

如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b.

三、空间直线与平面、平面与平面的位置关系

1．直线与平面、平面与平面位置关系的分类

（1）直线和平面位置关系的分类

①按公共点个数分类：

（2）平面和平面位置关系的分类

两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：

（1）两个平面平行——没有公共点；

（2）两个平面相交——有一条公共直线.

2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示

3．常用结论

（1）唯一性定理

①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

（2）异面直线的判定方法

经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．

考向分析

考向一 平面的基本性质及应用

（1）证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：

①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；

②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.

（2）证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.

（3）证明点或线共面问题，主要有两种方法：

①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；

②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.

考向二 空间线面位置关系的判断

两条直线位置关系判断的策略：

(1)异面直线的判定常用到的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．

(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．

(3)对于异面直线的条数问题，可以根据异面直线的定义逐一排查.

考向三 异面直线所成的角

求异面直线所成的角的常见策略：

(1)求异面直线所成的角常用平移法．

平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．

(2)求异面直线所成角的步骤

①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；

②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；

③三求：解三角形，求出作出的角．

如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.

(3)判定空间两条直线是异面直线的方法

①判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．