如何证明函数连续（数学笔记）

一、连续

1、函数在一点连续，则lim(x->a)f(x)=f(a)或f(a-0)=f(a)=f(a+0)

即：函数若在一点连续，则在该点的极限值与函数值相等。

左连续：f(a-0)=f(a)

右连续：f(a+0)=f(a)

例1： {(e^(ax)-1)/ln(1+x) x>0

f(x)={2 x=0

{b/(1+x^2) x<0

f(x)在x=0处连续，求a，b。

f(0-0)

=lim(x->0^+)f(x)

=lim(x->0^+)[(e^(ax)-1)/ln(1+x)]

=[lim(x->0^+)(e^(ax)-1)]/[lim(x->0^+)ln(1+x)]

（上一节说道，(e^Δ-1)~Δ (Δ->0)，x~ln(1+x) (x->0)）

=lim(x->0^+)(ax)/lim(x->0^+)(x)

=lim(x->0^+)(a)

=a

f(0)=2

f(0+0)

=lim(x->0^-)f(x)

=lim(x->0^-)(b)/lim(x->0^-)(1+x^2)

=b

∵ f(x)在x=0处连续

∴ f(0-0)=f(0)=f(0+0)

∴ a=b=2

2、设f(x)在闭区间[a,b]内有定义，且

（1）f(x)在[a,b]内处出连续

（2）f(a)=f(a+0), f(b)=f(b-0)

称f(x)在[a,b]连续，记为：f(x)∈c[a,b]

二、间断点

1、间断：if lim(x->a)f(x)≠f(a)，称f(x)在x=a间断

也就是说，某点极限存在，但极限不等于该店函数值。

2、间断点分类

（1）第一类间断点：f(a-0),f(a+0)都存在

1）可去间断点：f(a-0)=f(a+0)≠f(a)

2）跳跃间断点：f(a-0)≠f(a+0)

（2）第二类间断点：f(a-0)和f(a+0)至少有一个不存在

即：极限值不存在的为第二类间断点

例2：f(x)=(x^2-3x+2)/(x^2-1)求f(x)间断点及分类

x=±1为间断点

（1）x=1时

lim(x->1)f(x)

=lim(x->1)(x-2)/(x+1)=-1/2，极限存在但是函数值f(1)不存在，为可去间断点

（2）x=-1时

lim(x->-1)f(x)

=lim(x->-1)(x-2)/(x+1)=∞，极限不存在，为第二类间断点

Notes：a>1时

lim(x->-∞)(a^x)=0 lim(x->+∞)(a^x)=∞

lim(x->0^+)(e^(1/x))=0lim(x->0^-)(e^(1/x))=+∞