如何证明直线与圆相切（几何原本）

这一讲我向大家介绍《几何原本》第4卷“与圆有关的直线图形的做法”中命题6-命题9内容：

命题6：作给定圆的内接正方形。

已知ABCD是给定圆。

目标：作圆ABCD的内接正方形。

证明:

1、作圆ABCD的两条直径AC和CD，且这两条直径所夹的角为直角。

2、连接AB、BC、CD、DA。

3、设E是圆ABCD的圆心。

4、因为BE=ED，EA是公共边，角AEB=角AED=直角，所以AB=AD。（第1卷 命题4）

5、同理BC=BA，CB=CD，所以AB=AD=CB=CD。

6、因为线段BD是圆ABCD的直径，所以圆弧BAD是半圆，角BAD是直角（第3卷 命题31）。

7、同理，角ABC、BCD、CDA也是直角。

8、因此四边形ABCD是正方形（第1卷 定义22），且内接于圆ABCD。

证明完毕。

以上是作图的原理，下面我将作图的整个过程展示出来：

步骤1

步骤2

步骤3

步骤4

步骤5

步骤6

命题7:作给定圆的外切正方形。

已知ABCD是给定圆。

目标:作圆ABCD的外切正方形。

证明:

1、作圆ABCD的两条直径AC和BD，且这两条直径所夹的角为直角。

2、分别过A、B、C、D作圆ABCD的切线FG、GH、HK和KF。

3、因为FG与圆ABCD相切于A，又EA是圆心E和切点A的连线，所以A处的角为直角。（第3卷 命题18）

4、同理，点B、C和D处的角也为直角。

5、因为角AEB是直角，角EBG也是直角，所以GH平行于AC。（第1卷 命题29）

6、同理AC也平行于FK，所以GH也平行于FK。（第1卷 命题30）

7、同理，可证明GF平行于BD，BD平行于HK。

8、所以GHKF、GHCA、ACKF、GBDF、BHKD是平行四边形，于是GF=HK，GH=FK。（第1卷 命题34）

9、又因为AC=BD，AC=GH=FK，BD=GF=FK，所以平行四边形GHKF是等边的。

10、因为GBEA是平行四边形，且角AEB是直角，所以角AGB也是直角。（第1卷 命题34）

11、同理，可证角F=角K=角H=直角。

12、因为平行四边形FGHK四条边相等，且四个角都是直角，所以它是正方形（第1卷 定义22），且外切于圆ABCD。

证明完毕。

命题8:作给定正方形的内切圆。

已知ABCD是给定正方形。

目标:作正方形ABCD的内切圆。

证明:

1、分别作AD和AB的二等分点E和F。（第1卷 命题10）

2、过点E作EH平行于AB或者CD，过F作FK平行于AD或BC。（第1卷 命题31）

3、于是四边形AFKD、FBCK、ABHE、EHCD、AFGE、FBHG、GHCK、EGKD是平行四边形，显然它们的对边彼此相等。（第1卷 命题34）

4、因为AD=AB，AE是AD的一半，AF是AB的一半，所以AE=AF。

5、平行四边形AFGE对边彼此相等，所以FG=EG。同理，GH=GK=GE=GF。

6、因为E、F、H和K处的角都是直角，因此，以G为圆心，GE、GF、GH或GK为半径作圆，经过其他点，并且它与直线AB、BC、CD和DA都相切。

7、又因为如果圆与AB、BC、CD或DA相交，则过圆的直径的端点且与直径成直角的直线落在圆内，这在之前已经证明是不可能的。（第3卷 命题16）

8、所以，以G为圆心，GE、GF、GH或GK为半径作圆不会与AB、BC、CD或DA中的任意一条直线相交。

9、所以，这个圆与它们相切，且内切于正方形ABCD。

证明完毕。

命题9:作给定正方形的外接圆。

已知ABCD是给定正方形。

目标:作正方形ABCD的外接圆。

证明:

1、连接AC、BD，设其交点为E。

2、因为AB=AD,AC=AC,BC=DC，所以三角形ABC与三角形ADC全等，于是角DAC=角BAC。（第1卷 命题8）

3、因此角DAB被AC平分，同理，角ABC、BCD和CDA也分别被AC、DB平分。

4、因为角DAB=角ABC，角EAB等于角DAB的一半，角EBA等于角ABC的一半，所以角EAB=角EBA，因此EA=EB。（第1卷 命题6）

5、同理，EA、EB与EC、ED彼此相等，所以EA=EB=EC=ED。

6、因此，以E为圆心，以线段EA、EB、EC、ED之一为半径的圆，经过其他点，且外接于正方形ABCD。

证明完毕。

好了，这一讲就到这里了。

下一讲，我将向大家介绍《几何原本》是如何只用尺规作圆的内接正五边形的。

我是科学发现之历程，一个致力于科普数学、物理的科技媒体。想了解更多相关的知识，关注微信公众号科学发现之历程，期待你的到来~