正方形怎么证明（从拿破仑定理到奥贝尔定理）

拿破仑·波拿巴是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，法兰西第一帝国的皇帝。拿破仑也是一名颇具才能的数学爱好者，上军校时曾获得数学奖，被其数学老师视为得意门生。他发现并证明了以下定理：

拿破仑定理

以任意三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则他们的中心构成一个等边三角形。该等边三角形称为拿破仑三角形。如果向内作三角形，结论同样成立。

放手家长（头条号@放手家长）曾利用复数三点比的性质，对上述定理给出了一个非常漂亮的证明。证明简洁美观，感兴趣的读者可以去了解一下。

现在，我们重新思考拿破仑定理，初等几何最常见两大类几何图形就是三角形和矩形了。拿破仑定理中，是根据三角形的每条边同时向内或向外做正三角形，那么如果向外或向内做正方形会如何呢？

如下图，任取三角形ABC,以三条边分别向外做正方形。取三个正方形的中心，连接成新三角形DEF。利用几何画板作图如下：

然而，并没有正三角出现，甚至连个等腰三角形也不是。似乎此路不通。

不着急。我们再仔细观察一下上面的图形。看起来，如果连接BG的话，似乎BG和EF是垂直的，而且长度还差不多。由三条边的未加限定的一般性可知，假如BG和EF垂直且相等的话，那CE和FG垂直且相等，AF和EG垂直且相等。从图上看来，似乎是成立的！不妨一试。

这里以验证线段BG和EF的关系为例：隐藏无关线段，连接BG。移动三角形各个顶点，观察EF、BG的长度和斜率变化，如下：

在变化的过程中，EF与BG始终相等且两者斜率乘积为-1，也就是互相垂直。

现在，几乎可以肯定结论是正确的，但几何画板不是证明。还需要给出严格的数学证明。类似地，这里用复数的性质进行证明。两线段垂直且相等，其实就是旋转90°的关系。等价于线段对应的复数z1和z2满足z1=±i*z2（i是虚数单位，i^2=-1)。

建立复平面，A,B,C,E,F,G各点分别表示一个复数。怎么样处理这六个点呢？题设是先有任意一个三角形ABC，再有三个点EFG的，所以思路就是建立EFG三个点和ABC三点之间的关系。

容易知道，三角形AEB是等腰直角三角形，AE=BE,且互相垂直，对应复数关系，也就是：

同理，有

于是

从而|EF|=|BG|，两者的确垂直且相等。同理可证CE和FG垂直且相等，AF和EG垂直且相等。

证明完毕！

现在，我们再思考一下。拿破仑定理是利用任意三角形然后再做正三角形，上面的推广把正三角形变成了正方形，以任意三角形然后再做正方形，我们也得到比较不错的性质。但是，似乎哪里有些不和谐的地方？

任意三角形是不是可以改成任意四边形呢？以该四边形的四条边再做四个正方形，这样是不是和拿破仑定理更有”对称性“的一种推广形式呢？不妨一试。

几何画板作图如下：作任意四边形ABCD,分别以各边向外做正方形，中心分别是EFGH.

有了前面的铺垫，一眼可以看出GE与FH垂直且相等。

类似地，利用复数，有如下证明：

奥贝尔定理（van Aubel's theorem）

于是，我们得到奥贝尔定理：任意一个四边形（凸或凹皆可），在其各边外侧构造一个正方形。将对边正方形的中心连线，就得到两条长度相等且互相垂直的线段。三角形可以视为四边形的特例——一条边为0的四边形。此时，两个顶点以及相应正方形的中心收缩为同一个点，奥贝尔定理仍成立。

复数作为几何证明的一种方法，其实就是解析几何中的向量分析。但复数天然地既可视为数，又可视为旋转拉伸变换，具有良好的运算性质和清晰的几何意义，所以许多平面几何的问题，运用复数都可以做出比较简洁的解答。