如何证明两个矩阵相似（相似矩阵之间究竟什么关系）

线性代数里面相似矩阵的定义是说，一个矩阵A，另一个矩阵B，如果A和B是相似矩阵，则必存在一个可逆矩阵M，是的A和B满足下列关系

B=M'*A*M（即M逆乘以A乘以M）

那么这么一个定义显然不容易看不出A和B的特殊关系，既然是相似矩阵，A和 B 之间总得有点不一样的关系吧？

这个不一样的关系就是A和B拥有同样的特征值，设为L（实际教科书里是兰姆达，但是不好输入，这里用L代替。）

证明的方法很巧妙：

特征值和特征向量和矩阵的关系是这样：

设x是矩阵A的特征向量，则 A*x=L*x， L是个数值，x是一个向量，A是个矩阵。

如果B是A的相似矩阵，L也是B的特征值。

第一步： A*M*M'*x=L*x 左侧加入M*M'=I 等于什么也没加入。

第二部：等式两边左乘M' M'*A*M*M'*x=L*M'*x

第三部： 带入B， B*M'*x=L*M'x M'*x是一个向量，根据特征值和特征向量的关系，则L是B的一个特征值，而M'*x是B的一个特征向量。

所以，A和B拥有共同的特征值，而对应该特征值的，B的特征向量x(b)=M'*x(a).