怎么证明周期函数（数学分析考研基础阶段复习笔记）

六、几种函数

符号函数：

狄利克雷 函数：

黎曼 函数：(可积（课本 ）)

黎曼函数

取整函数：（取小：取最小的整数），（也叫做：左取整函数，取最左边的整数）

取整函数

不超过 的整数 比如

复合函数：

或 内函数的值域对映外值函数的定义域内.

6. 反函数：（ ，对于三角函数的反函数归为一个周期内成立）

图：

y=arcsinx

y=arccosx

y=arctanx

y=arccotx

周期函数:

为有理数.

备注① 有界：连续函数以 为周期必有界（不在此证明）

② 不是所有周期函数都有最小正周期。周期函数的周期是与无关的非零常数，存在没有最小正周期的函数，而这个函数就是狄利克雷函数。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。实数域上的狄利克雷 函数表示为：

（ 为整数）也可以简单地表示分段函数的形式 （是无理数）或 （ 是有理数）,假设 ， 为无理数; ， 有理数,由有理数和无理数的运算法则可以知道，所有的有理数与有理数的和都是有理数，有理数与无理数的和都是无理数。那么对于这个函数而言，取 为任意有理数，就都满足了，无论 是有理数还是无理数，这就意味着狄利克雷就是一个周期函数。它的最小正周期是最小的有理数，而显然是不存在最小的有理数的，因而这个函数也就没有最小正周期了。

周期函数的性质共分以下几个类型：

若是的周期，则也是的周期. 若 是的周期，则（ 为任意非零整数）也是 的周期.

若 与 都是 的周期，则 也是 的周期. 若 有最小正周期 ，那么 任何正周期 一定是 的正整数倍.

若 是 的两个周期，且 是无理数，则 不存在最小正周期.

周期函数 的定义域 必定是至少一方无界的集合.

基本初等函数:

六种初等函数

常量函数： ( 为常数)

幂函数： ( 为实数) 上角实数幂

指数函数： ( )

对数函数： ( )

三角函数：

反三角函数：

初等函数：由六个基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数

例如： , ,

非初等函数：反之，例如：狄利克雷函数、黎曼函数.

七、补充内容

单值函数与多值函数:

一般函数只有1个 值对应，但严格说还有多值函数，单值函数.

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