克莱姆法则证明（鸡与兔）

#新作者扶植计划 第二期#

小学时学习奥数，学到“鸡兔同笼”，总想，为什么是鸡和兔子？鸡与兔为啥关在一个笼子里啊！头和脚怎么数清啊！

“鸡兔同笼”问题俨然成了奥数的代名词，成了很多人的梦魇！

假设头全是鸡头，假设脚全是兔子脚，奥数的解法在心理留下来阴影！睡梦中，都是鸡头，兔子脚在盘旋。总也搞不清楚！

后来，知道了“鸡兔同笼”是我国古时候《孙子算经》里的一道题目，距今1500多年了。

今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

到了初中，学习了二元一次方程组，发现鸡兔同笼被秒杀了！

设鸡有x只，兔子有y只

得 x＋ y=35

2x＋4y=94

为什么奥数这么难的题，用了方程组一下就解决了呢？

这就是数学发展的魅力，随着数学不断的研究发展，更先进的方法被发明出来，以前的难题当然就简单了！

其实，二元一次方程组的解法，早在1800年前，刘徽就在《九章算术注》里创立了互乘相消法．例如方程组

刘徽是这样解的：

(1)×2，(2)×5，得例如方程组

(4)-(3)，得21y＝20

这就是现在的加减消元法。

刘徽认为，这种方法可以推广到多元:“以小推大，虽四、五行不异也．”

刘徽认为这个解法可以推广到多元的情况，但是，很显然多元的一次方程，解法非常复杂繁琐。接下来数学家会怎么办呢？

历史的车轮滚滚向前，数学家的脚步也不会停下。

对于n元的一次方程组数学家是怎么解决的呢？

西方的数学在16世纪迎来了大爆发，出现了数以百计的大数学家，经过几代数学家的努力，线性方程组得到了完美的解答。

为什么叫线性方程呢？

因为在笛卡尔坐标系上任何一个一次方程的表示都是一条直线，求二元一次方程组的解，就是求直线的交点。

数学家在研究解线性方程组的过程中，发明了矩阵。

从上图中，大家可以看到这个矩阵的元素就是线性方程组的未知数系数。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出，作为解决线性方程的工具。

这样，线性方程组就可以简单的

这样书写即简单，也为后续的计算提供了便利。可以直接利用矩阵的运算，计算系数。

日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。

其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。到了1772年，范德蒙德才把行列式和解线性方程组分离开来，对行列式本身作了单独的研究。

瑞士数学家克莱姆（1704-1752）登场了。他把矩阵与行列式完美的结合，证明了线性方程中最重要的定理“克莱姆法则”。法则最重要的价值是:证明了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系。

设线性方程组

克莱姆法则的优越的数学符号使之流传最广。

此后，更多数学家进行线性方程组的研究，1764年，法国数学家裴蜀研究了含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组的求解问题，证明了这样的方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。

裴蜀和拉普拉斯以行列式为工具，给出了齐次线性方程组有非零解的条件。

1867年，道奇森证明了含有n个未知量m个方程的一般线性方程组有解的充要条件是系数阵和增广阵有同阶的非零子式。

后来，范得蒙、欧拉、阿贝尔、伽罗、F.克莱茵、S.李等一代代数学家孜孜不倦的研究，线性代数不断发展，成为数学中非常重要的学科！

数学家是一群奇怪的人，他们废寝忘食，不谙世事，大脑中只有数字。他们总是在解决问题，然后又制造问题！再解决问题，再制造问题！但是正是有了这些人，基础数学的才有了大发展，其他诸如物理，天文，航天，通讯，化学，生物等等才有了肥沃的土壤！才能推动人类向前大发展！