梯形中位线证明（梯形与圆）

解读：

（1）已知AD与⊙O相切，点G为切点，

要证BC与⊙O相切，需连GO，延长交⊙O于H点，

连OE，证明GH⊥BC，且OH=OG即可。

因为AB与⊙O相切，所以OE⊥AB，

又AB⊥BC，所以BC//OE，

又AD//BC，

所以AG//OE//BH，且AE=BE

因而OG=OH，

因为AD与⊙O相切，所以GH⊥AD，

又BC//AD,所以OH⊥BC，

所以BC与⊙O相切，点H为切点。

（2）为求EF，先作DK⊥BC，垂足为K，

利用Rt△CDK，求出⊙O的直径，

再连EO延长交CD于I，交⊙O于J，

抓住切割线的基本构图△IFJ∽△IEF，利用对应比成比例，

以及在Rt△EFJ中，利用勾股定理来想办法解决。

设⊙O的半径为r，

则∠A=∠AEO=∠OGA=90°，OE=OG=r,

得正方形OGAE，且边长为r,

同理，正方形OEBH，且边长为r,

则AG =BH=r，GH=AB=DK=2r，

DG=DF=3-r，CH=CF=6-r，

CD=CF+DF=9-2r，

AD=BK=3，CK=BC-BK=3，

在Rt△CDK中，由勾股定理得，

（9-2r）^2-（2r）^2=3^2，

解得r=2，CD=5，DF=1，EJ=4

由AD//EI//BC，且AE=BE=2得

DI=CI=2.5，即EI为梯形中位线，

则EI=4.5，IF=1.5，IJ=0.5，

由切线IF，弦JF，得∠IFJ=∠IEF，

且∠FIJ=∠EIF，

所以△IFJ∽△IEF，

则FJ：EF=IJ：IF=0.5:1.5=1:3

所以EF=3FJ

在Rt△EFJ中，EF=3FJ，EJ=4

由勾股定理得，

（3FJ）^2-（FJ）^2=4^2，

解得FJ=2√10/5,

所以EF=6√10/5。

综述：

1.此题综合极强，涉及知识点众多，添加辅助线众多。用到的都是常规常法，但过程繁琐，要求基本功扎实，基本技能熟练。

2.主要的知识点：切线判定及性质，正方形判定及性质，相似三角形判定及性质，平行线截线段成比例，勾股定理，切线长定理，梯形中位线定理，解方程等。

3.主要的基本技能：构造直角三角形，利用勾股定理列方程，解方程，

构造相似三角形，利用对应边成比例列方程，解方程，

梯形的有关计算，线段的和、差、积、商计算等。