怎么证明数列收敛（高等数学）

上一节中介绍了函数与数列的相似之处，而收敛数列与函数极限的性质也有许多类似的地方，下面我们以函数极限的性质为例来探讨收敛数列与函数极限的性质。

（3）收敛数列与函数极限的性质

首先我们要引入单侧极限的概念：

函数极限定义中的自变量X趋近于某个常数，X可以从左侧趋近，当然也可以从右侧趋近。

定理1 （函数极限的唯一性）如果函数的极限存在，那么这个极限值必唯一

下面我们就来证明这个定理：

来看函数f(x)的图像，我们可以发现：

当自变量X趋近0的左侧时，函数的值趋近于负无穷。

当自变量X趋近0的右侧时，函数的值趋近于正无穷。

显然函数在X趋近于0的左右极限不唯一，那么我们能认为函数的极限可以不唯一吗？

用反证法：

定理2 （函数极限的局部有界性） 当x→a时，若有f(x)=A，那么存在常数M>0和δ>0,使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)|<=M

首先， x→a本来就是一个局部的概念，表示X位于a附近的一个去心领域内，

举个简单的例子，如f(x)=x, 显然这个函数在x趋近于1时的极限值就是1，也因此函数在点x=1处一个很小的去心领域内是有界的，如区间（0.9999，1）∪（1，1.00001）内显然是有界的。

定理3 （函数极限的局部保号性） 当x→a时，若有f(x)=A，且A>0(或A<0),那么存在常数δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有f(x)>0(或f(x)<0)

还是以f(x)=x为例，x趋近于1时的极限值是大于0的，显然在存在一个在x=1附近的领域如（1，100001）内函数的值大于0.

最后与函数极限的性质比较，可得收敛数列的一些相应性质：

定理1 （极限的唯唯一性） 如果数列{Xn}收敛，那么它的极限唯一

定理2 （收敛数列的有界性） 如果数列{Xn}收敛，那么数列{Xn}一定有界

定理3 （收敛数列的保号性） 如果数列{Xn}的极限值为A，且当A>0(或A<0),那么存在正整数N，当n>N时，都有Xn>0(或Xn<0)

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