如何证明向量共线（2018高考二轮专题复习）

考生们注意，2018高考二轮专题复习【解三角形与平面向量 】之平面向量

1．两个向量的和仍是向量．特别注意的是：在向量加法的表达式中，零向量一定要写成0，而不应写成0；在△ABC中，AB＋BC＋CA＝0(如图)．

2．两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两个向量共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．

3．对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系．用向量共线定理可以证明几何中的三点共线和直线平行问题．但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况．也就是说，要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b＝λa，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．

4．由于数量积是新运算，所以不能将代数运算的运算律完全照搬过来，在代数中使用的运算或规则不一定成立．以下三点要特别注意．

第一点，当a≠0时，a·b＝0不能推出b一定是零向量．这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0，所以在代数中我们常用的“若ab＝0，则a＝0或b＝0”在向量的数量积中不适用．

第二点，由a·b＝b·c不能推出a＝c，即等式两边都是数量积时，其公因式不能约去．这是因为原等式左右两边均是实数，是一个实数等式；而a＝c是一个向量等式，所以二者不等价．另外，我们学习的向量运算中没有除法，相约实质是相除，这是不允许的．这就是说，在代数中常见的“若2x＝6则x＝3”的变形在数量积中不适用．

第三点，结合律对数量积不成立，即(a·b)c≠a(b·c)．这是因为(a·b)c表示一个与向量c共线的向量，而a(b·c)表示一个与向量a共线的向量，但向量a和向量c不一定共线(即使共线，其积也不一定相等)，所以(a·b)c≠a(b·c)．

5．由于向量有几何法和坐标法两种表示，它的运算也因为这两种不同的表示而有两种方式，因此向量问题的解决理论上讲有两个途径，即基于几何表示的几何法和基本坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．

本题主要考查了向量的相关运算及二次函数的最值求解问题．

解决平面向量数量积问题，一是可以从平面向量基本定理出发，找准“基底”，围绕“基底”运算，二是建立坐标系，将运算坐标化．体会向量是联系代数与几何的“桥梁”．

本题考查了利用向量的坐标运算求最值问题，需要根据图形的特征建立坐标系，转化为几何问题，根据条件求出两数的和，再由基本不等式求出它们的积的最大值．注意验证的三个条件：一正二定三相等，考查了转化思想．

规律总结：

高考对平面向量的考查，主要以选择、填空题为主(至于解答题中，也会涉及到平面向量的有关知识，但考查的重心却是其他知识，此时平面向量只是作为叙述有关条件的工具而已)．而且在选择、填空题考查平面向量有关知识题目与前几年相比较又有所变化：现在的高考题，要么非常常规，只要我们熟练掌握平面向量的基本知识和基本方法即可顺利过关；要么是新型问题．这正是需要我们在二轮复习中重点突破的地方．

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