怎么证明奇函数（论函数的奇偶性）

函数的奇偶性是函数本身的一种属性，通过函数的奇偶性，我们可以对函数的定义域、值域和函数的图象有着更直观的认识和理解。

下面，我们来看奇函数和偶函数的定义。

一般地，对于函数f(ⅹ)的定义域内的任意一个ⅹ:①如果有f(-x)=-f(ⅹ)，那么函数f(x)为奇函数;②如果有f(-x)=f(x)，那么函数f(ⅹ)为偶函数。

根据这个定义，我们易知一一

①不管是奇函数还是偶函数，它们的定义域都是关于原点对称的(因ⅹ与-x互为相互数，f(ⅹ)有定义，f(-x)也要存在的)，这也是判断函数奇偶性的一种方法，当然也是奇、偶函数的一个性质;

②函数奇偶性的判断，在定义域是关于原点对称的前提下，关键是比较f(x)与f(-x)的大小，若二者相等(即f(x)-f(-ⅹ)=0)则为偶函数，若二者互为相反数(即f(ⅹ)+f(-x)=0)则为奇函数。

注意，奇函数性质4中，f(0)=0是奇函数计算中常用的一个结论，切记，原点要有定义！

显然，判断一个函数的奇偶性就是判断这个函数是奇函数还是偶函数，当然，有的函数可能既是奇函数也是偶函数，也有的函数可能既不是奇函数也不是偶函数。

判定函数奇偶性的方法，常用的有三种方法:

一是定义法

首先看函数的定义域是不是关于原点的对称区间，必须对称，像区间(-4,4]、区间(-10，0)和区间[2，10]就不是关于原点对称的区间，而区间(-∞，+∞)、区间[-a，+a]和区间(-∞，0)U(0，+∞)都是关于原点对称的区间;

第二步就要来计算f(-ⅹ)与f(ⅹ)的大小关系。

二是图象法即根据函数f(ⅹ)的图象来直观判断，若图象关于原点对称就是奇函数，若图象关于Y轴对称就为偶函数，若图象既不关于原点对称又不关于Y轴对称那就为非奇非偶函数，当然，既为奇函数又为偶函数的函数的图象就是X轴(即f(ⅹ)=0，常数函数)。

三是运算法(即加减乘除四则运算法)

这是对于复合函数而言的，比如函数f(x)=e^x十x^2，就是由一个指数函数和一个幂函数通过加法运算组成的一个复合函数。

一般地，在各分函数的公共定义域上，有

奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇x奇=偶，偶x偶=偶，奇X偶=奇。

我们还是来看一道判断选择题，以增强对函数奇偶性的认识吧！

下面函数是奇函数的是( ):

①f(ⅹ)=2x (x∈R);

②f(x)=2ⅹ (ⅹ∈Z);

③f(x)=2x (x∈N);

④f(x)=2 (x∈R);

⑤f(x)=0 (x∈R);

⑥f(x)=2x十3 (x∈R);

⑦f(x)=Sinⅹ(x≥0);

⑧f(x)=|x| (x∈R);

⑨f(ⅹ)=1/ⅹ (x≠0);

⑩f(x)=1/x (ⅹ<8)。

[分析]

先从函数的定义域方面入手，看看哪些是关于原点对称的，显然③、⑦、⑩定义域都不是关于原点对称的，这三个先排除掉;对于①、②、④、⑤、⑥、⑧、⑨中，我们再来看f(-ⅹ)与f(ⅹ)的大小关系，满足f(-x)=f(x)的显然有④、⑤、⑧三个，为偶函数;满足f(-x)=-f(ⅹ)的有①、②、⑤、⑨四个，为奇函数。

注意⑤既是奇函数又是偶函数！

[练一练]

1)已知函数f(ⅹ)=(ⅹ+1)√[(1-ⅹ)/(1+x)]，判断f(ⅹ)在定义域上的奇偶性;

2)证明:函数f(ⅹ)=a^x-a^(-x)(x∈R，a≠0)为奇函数。